5. Zadatak

Promotrimo jednog učenika i pretpostavimo da je on na ploču napisao broj $m$. To znači da još $m$ učenika s njime dijeli isto ime (ili prezime), pa je zato i tih $m$ učenika napisalo broj $m$ na ploču.

Ovime smo zaključili da ako se neki broj $m$ nalazi na ploči barem jednom, onda se pojavljuje barem $m+1$ puta.

Zajedno s uvjetima zadatka, sada zaključujemo da se među $66$ brojeva na ploči nalazi barem jedno pojavljivanje broja $0$, barem dva pojavljivanja broja $1$, $\ldots$, te barem $11$ pojavljivanja broja $10$. No, to znači da se brojevi iz skupa $\{0,1,\ldots,10\}$ ukupno pojavljuju barem $66$ puta. Posebno, nijedan drugi broj se ne pojavljuje na ploči osim ovdje nabrojanih.

Također, svaki broj $k\in\{0,1,\ldots,10\}$ pojavljuje se točno $k+1$ puta, što znači da svih $k+1$ učenika koji su napisali taj broj na ploču dijeli isto ime ili da svi oni dijele isto prezime.

Promotrimo sada onih jedanaestero učenika koji su na ploču napisali broj $10$. Dokazat ćemo da se među njima nalazi dvojica s istim imenom i prezimenom.

Bez smanjenja općenitosti tih jedanaestero učenika dijeli isto ime. Pretpostavimo da svi imaju različito prezime.

Posebno, oni su svi napisali drugačiji broj na ploču (kada su pisali koliko postoji njihovih prijatelja koje dijeli prezime s tim djetetom).

Tih jedanaestero učenika u tom su koraku mogli napisati jedan od deset brojeva iz skupa $\{0,1,\ldots,9\}$.

Prema Dirichletovom principu, postoje dvojica među njima koja su napisala isti broj na ploču, pa zato imaju i isto prezime.

Time je dokaz gotov: zaista postoji jedan par učenika istog imena i prezimena.