4. Zadatak

Zbrojimo li sve jednadžbe, dobivamo

$$a^2+a+b^2+b+c^2+c=a^2+b^2+c^2,$$

odakle je

$$a+b+c=0.$$

Zapišimo prvu jednadžbu na drugačiji način: $a^2-b^2=-a$.

Koristeći razliku kvadrata na lijevoj strani, dobivamo $(a-b)(a+b)=-a$.

Nadalje, koristeći $a+b+c=0$, dodatno možemo pisati $(a-b)(-c)=-a$.

Analogno iz drugih dviju jednadžbi dobivamo

$$(b-c)(-a)=-b \qquad \text{i} \qquad (c-a)(-b)=-c.$$

Množeći tri zadnje jednakosti dobivamo

$$(a-b)(b-c)(c-a)(-abc)=-abc.$$

Kako nijedan od brojeva $a$, $b$, $c$ nije jednak nuli, dijeljenjem s $-abc$ dobivamo

$$(a-b)(b-c)(c-a)=1,$$

što je i trebalo dokazati.