5. Zadatak

Zapišimo brojeve pomoću dekadskih jedinica:

$$\overline{ba}=10b+a,$$ $$\overline{cba}=100c+10b+a.$$

Prema uvjetu zadatka vrijedi

$$(10b+a)^2=a(100c+10b+a),$$

što se sređivanjem svede na

$$ab=10(ac-b^2).$$

Odavde slijedi da $10$ dijeli $ab$ pa je jedna od znamenaka $a$ i $b$ jednaka $5$.

Prvi slučaj: $b=5$.

Budući da je $ab$ djeljiv s $10$, $a$ je paran, odnosno $a=2k$, $1\leq k\leq4$. Dobivamo da je $10k=10(2kc-25)$, odnosno $25=k(2c-1)$.

Budući da $k$ nije djeljiv s $5$, broj $2c-1$ mora biti djeljiv s $25$, ali to nije moguće jer je $0<2c-1<18$. Stoga ovaj slučaj nema rješenja.

Drugi slučaj: $a=5$.

Slično kao u prethodnom slučaju zaključujemo da je $b$ paran, odnosno da je $b=2\ell$, $1\leq\ell\leq4$. Slijedi da je $10\ell=10(5c-4\ell^2)$, odnosno $\ell(4\ell+1)=5c$.

Budući da $\ell$ nije djeljiv s $5$, broj $4\ell+1$ mora biti djeljiv s $5$. Stoga je $\ell=1$, $b=2$ i $c=1$. Dakle, jedino rješenje je $a=5$, $b=2$, $c=1$.