1. Zadatak

Prvo rješenje.

Po binomnom poučku vrijedi

$$(2+\sqrt2)^n =2^n+\binom n1\cdot2^{n-1}\cdot\sqrt2 +\binom n2\cdot2^{n-2}\cdot2+\ldots+(\sqrt2)^n,$$ $$(2-\sqrt2)^n =2^n-\binom n1\cdot2^{n-1}\cdot\sqrt2 +\binom n2\cdot2^{n-2}\cdot2-\ldots+(-1)^n\cdot(\sqrt2)^n.$$

Stoga je

$$\frac{(2+\sqrt2)^n-(2-\sqrt2)^n}{\sqrt2} =2\left(\binom n1\cdot2^{n-1} +\binom n3\cdot2^{n-2} +\binom n5\cdot2^{n-3}+\ldots\right),$$

što je prirodan broj.

Drugo rješenje.

Uvedimo oznake $a_n=(2+\sqrt2)^n$, $b_n=(2-\sqrt2)^n$. Matematičkom indukcijom dokazat ćemo da su brojevi $a_n+b_n$ i $\frac{a_n-b_n}{\sqrt2}$ prirodni za svaki prirodni broj $n$.

Baza indukcije $n=1$ vrijedi jer je $a_1+b_1=4$ i $\frac{a_1-b_1}{\sqrt2}=2$.

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki prirodni broj $n$. Tada je

$$a_{n+1}+b_{n+1} =(2+\sqrt2)\cdot a_n+(2-\sqrt2)\cdot b_n =2(a_n+b_n)+2\cdot\frac{a_n-b_n}{\sqrt2}$$

što je prirodan broj po pretpostavci indukcije.

Slično je

$$\frac{a_{n+1}-b_{n+1}}{\sqrt2} =\frac{(2+\sqrt2)\cdot a_n-(2-\sqrt2)\cdot b_n}{\sqrt2} =2\cdot\frac{a_n-b_n}{\sqrt2}+(a_n+b_n)$$

također prirodan broj po pretpostavci indukcije. Time je tvrdnja dokazana.

Treće rješenje.

Neka je $a=2+\sqrt2$, $b=2-\sqrt2$. Primijetimo prvo da vrijedi $a+b=4$, $ab=2$.

Pronađimo rekurzivnu relaciju za broj $c_n:=\frac{a^n-b^n}{\sqrt2}$. Budući da je

$$(a^n-b^n)(a+b)=a^{n+1}-b^{n+1}+ab(a^{n-1}-b^{n-1}),$$

dobivamo

$$\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{\sqrt2} =4\frac{a^n-b^n}{\sqrt2} -2\frac{a^{n-1}-b^{n-1}}{\sqrt2},$$

odnosno

$$c_{n+1}=4c_n-2c_{n-1}$$

za svaki prirodni broj $n$.

Kako je $c_0=\frac{a^0-b^0}{\sqrt2}=0$ i $c_1=\frac{a-b}{\sqrt2}=2$, iz gornje relacije induktivno slijedi da je broj $c_n=\frac{a^n-b^n}{\sqrt2}$ cijeli. Kako je $a>b>0$, vrijedi $c_n>0$ za svaki prirodni broj $n$, pa je $c_n$ prirodan.