2. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $a=|CD|$ i označimo duljinu visinu trapeza s $h$.

Površina trapeza je jednaka

$$\frac{(a+2a)h}{2}=\frac{3ah}{2}.$$

Nacrtajmo visinu iz vrha $D$ na $\overline{AB}$ i nožište označimo s $N$.

U pravokutnom trokutu $AND$ imamo kutove $|\angle DAN|=75^\circ$ i $|\angle ADN|=15^\circ$, te je $|AN|=\frac a2$ i $|DN|=h$. Slijedi da je $a=10\sin15^\circ$ i $h=5\cos15^\circ$.

Prema adicijskim formulama vrijedi

$$\sin15^\circ =\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4},$$ $$\cos15^\circ =\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

Površina trapeza je stoga jednaka

$$\frac{3ah}{2}=\frac{75}{4}.$$

Drugo rješenje.

Neka je $ABCD$ trapez takav da je osnovica $\overline{AB}$ dvostruko duža od osnovice $\overline{CD}$. Također, neka je $E$ polovište osnovice $\overline{AB}$. Tada su trokuti $AED$, $CED$ i $EBC$ jednakokračni i sukladni.

Izračunajmo površinu jednakokračnog trokuta $AED$ s kutovima $75^\circ$, $75^\circ$, $30^\circ$ i krakom duljine $5$. Neka je $F$ polovište osnovice $\overline{AE}$. Tada je $\overline{DF}$ visina trokuta i vrijedi

$$|DF|=|AD|\cdot\cos15^\circ,\qquad |AF|=|EF|=|AD|\cdot\sin15^\circ.$$

Stoga površina trokuta $AED$ iznosi

$$|AF|\cdot|DF| =5\sin15^\circ\cdot5\cos15^\circ =\frac{25}{2}\sin30^\circ.$$

Budući da je $\sin30^\circ=\frac12$, površina trokuta $AED$ iznosi $\frac{25}{4}$, pa je površina trapeza jednaka $\frac{75}{4}$.

Treće rješenje.

Kao u prvom rješenju zaključujemo da je potrebno izračunati površinu trokuta $AED$.

Nacrtajmo visinu iz $A$ na $\overline{DE}$ s nožištem $G$. Tada je $|AG|=|AD|\cdot\sin30^\circ$, pa je površina trokuta $AED$ jednaka

$$\frac{|AG|\cdot|DE|}{2} =\frac{5\cdot5\sin30^\circ}{2} =\frac{25}{4}.$$

Stoga je površina trapeza jednaka $\frac{75}{4}$.