7. Zadatak

Prvo rješenje.

Primijetimo prvo da je

$$\frac1z=\frac{\overline z}{|z|^2}=\frac{\overline z}{4}.$$

Zapišemo li $z=x+iy$, $x,y\in\mathbb R$, dobijemo

$$\begin{aligned} (10+14i)z+\frac{8-8i}{z} &=(10+14i)(x+iy)+(2-2i)(x-iy)\\ &=12x-16y+i(12x+8y). \end{aligned}$$

Stoga je traženi realni dio jednak

$$12x-16y.$$

Kako je $|z|=2$, postoji realan broj $t$ takav da je $x=2\cos(t)$ i $y=2\sin(t)$.

Neka je $\varphi\in(0,\pi/2)$ broj takav da je $\cos(\varphi)=\frac35$. Tada je $\sin(\varphi)=\frac45$.

Sada je

$$\begin{aligned} 12x-16y &=\left(20\cdot\frac35\cdot2\cos t-20\cdot\frac45\cdot2\sin t\right)\\ &=40(\cos\varphi\cdot\cos t-\sin\varphi\cdot\sin t)\\ &=40\cos(\varphi+t). \end{aligned}$$

Kako je $\cos(s)\leq1$ za svaki $s\in\mathbb R$, slijedi da je traženi izraz manji ili jednak $40$.

Za $x=\frac65$ i $y=-\frac85$ (odnosno $t=-\varphi$) vidimo da se ova vrijednost zaista i postiže.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju želimo odrediti najveću moguću vrijednost izraza $12x-16y$ uz uvjet $x^2+y^2=4$.

Koristit ćemo da za sve realne brojeve $a,b,x,y$ vrijedi Cauchy-Schwarz nejednakost

$$(x^2+y^2)(a^2+b^2)\geq(ax+by)^2$$

uz jednakost ako i samo ako $ay=bx$.

Ako stavimo $a=12$ i $b=-16$, dobivamo

$$1600=(x^2+y^2)(12^2+16^2)\geq(12x-16y)^2$$

pa je $12x-16y\leq40$.

Jednakost se postiže ako i samo ako je $12y+16x=0$, odnosno $y=-\frac43x$. Taj uvjet i uvjet $x^2+y^2=4$ zadovoljava, na primjer, $x=\frac65$, $y=-\frac85$.