6. Zadatak

Označimo tlocrt kupaonice kao na slici.

Promotrimo tepih (krug) koji se može smjestiti na pod kupaonice. Ako tepih ne dodiruje zid $\overline{BC}$, onda nema prepreka da ga pomaknemo prema tom zidu. Analogno, ako ne dodiruje zid $\overline{CD}$, onda ga možemo pomaknuti tako da ga dodiruje. Drugim riječima, ako se tepih određenog polumjera može smjestiti u kupaonicu, onda se može smjestiti tako da dodiruje dva zida nasuprot kade.

To znači da tepih najvećeg polumjera dodiruje zidove $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$. Zato se središte tepiha nalazi na dijagonali $\overline{AC}$.

Naravno, tepih najvećeg polumjera dodiruje i kadu u točki $F$, jer u protivnom možemo povećati tepih.

Neka je $N$ nožište okomice iz točke $S$ na pravac $FG$. Uočimo trokut $FNS$ i primijenimo na njega Pitagorin poučak: $|FN|^2+|SN|^2=|FS|^2$.

Označimo polumjer kružnice/tepiha s $r$. Tada je $|FN|=|FH|-|NH|=4.5-r$. Analogno je $|SN|=4-r$.

Dakle, vrijedi

$$(4.5-r)^2+(4-r)^2=r^2.$$

Sređivanjem dobivamo kvadratnu jednadžbu $r^2-17r+36.25=0$, čija su rješenja $r=2.5$ i $r=14.5$.

Kako očito mora biti $r\leq6$, zaključujemo da je polumjer tepiha $2.5\,\mathrm m$.