1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $x$ i $y$ realni i imaginarni dio broja $z$, odnosno $z=x+iy$. Jednadžbu iz zadatka tada možemo zapisati kao

$$x^2-y^2+2xyi=\frac{1}{x+iy}+\frac{1}{x-iy} =\frac{x-iy}{x^2+y^2}+\frac{x+iy}{x^2+y^2}=\frac{2x}{x^2+y^2}.$$

Očito je desna strana realni broj, stoga i lijeva strana mora imati imaginarni dio jednak nuli. Odavde slijedi $2xy=0$, tj. $x=0$ ili $y=0$.

Ako uvrstimo $x=0$ u gornji izraz, jednadžba postaje $-y^2=0$, pa je $z=0+0i=0$, a za taj $z$ početna jednadžba nema smisla.

Ako je $y=0$, jednadžba se svodi na $x^2=\frac{2}{x}$, odnosno $x^3=2$. Jedino realno rješenje ove jednadžbe je $x=\sqrt[3]{2}$.

Rješenje početne jednadžbe je $z=x+iy=\sqrt[3]{2}$.

Drugo rješenje.

Izraz s desne strane zadane jednadžbe ne mijenja se konjugiranjem, stoga zaključujemo da se radi o realnom broju.

Zbog toga je $z^2$ realni broj, odakle slijedi $z=x\in\mathbb R$ ili $z=yi$ za neki $y\in\mathbb R$.

Uvrštavanjem $z=x$ u početnu jednadžbu dolazimo do jednadžbe $x^2=\frac{2}{x}$, odnosno $x^3=2$, čije je jedino realno rješenje $\sqrt[3]{2}$.

Uvrštavanjem $z=yi$ u početnu jednadžbu dobivamo $-y^2=0$, odakle slijedi $y=0$. Odavde bi slijedilo $z=yi=0$, no to nije moguće.

Zaključujemo da je jedino rješenje početne jednadžbe $z=\sqrt[3]{2}$.