5. Zadatak
Koliko ima različitih narukvica koje se sastoje od četiri crne i četiri bijele kuglice poredane ukrug? Dvije narukvice smatramo različitima ako se ne mogu okrenuti tako da poredci kuglica na njima budu isti.
Rješenje
Promatrajmo koliko je dug najdulji niz koji se sastoji samo od crnih kuglica.
Ako je duljine , tada su preostale četiri kuglice očito bijele i to je jedina mogućnost u ovom slučaju.
Ako je duljine , onda su te tri crne kuglice sigurno okružene dvjema bijelima, inače bi niz bio duljine . Treba postaviti još jednu crnu kuglicu na neko od tri preostala mjesta. Imamo dvije različite mogućnosti, kao na slici:
Ako je duljine , onda preostale dvije crne kuglice mogu i ne moraju biti susjedne.
Ako jesu, imamo dvije različite mogućnosti, kao na slici:
Ako nisu susjedne, imamo dvije mogućnosti, kao na slici:
Ako je nadulji opisani niz duljine , onda imamo samo jednu narukvicu i to onu gdje se crne i bijele kuglice pojavljuju naizmjenično.
Dakle, ukupno ima osam različitih narukvica.