4. Zadatak

Pomnožimo li prvu jednakost s $a_1$ i od tako dobivene jednakosti oduzmemo drugu, dobivamo:

$$a_2(a_1-a_2)+a_3(a_1-a_3)+\cdots+a_{2020}(a_1-a_{2020})=0.$$

Kako je $a_1 \geq a_k$ i $a_k \geq 0$, vidimo da imamo zbroj nenegativnih brojeva koji je jednak nuli. Zaključujemo da je svaki pribrojnik jednak nuli:

$$a_k(a_1-a_k)=0, \qquad \text{za sve } k \in \{2,3,\ldots,2020\},$$

odnosno za svaki $k \in \{2,3,\ldots,2020\}$ vrijedi da je $a_k=a_1$ ili $a_k=0$.

Kako je $a_1+a_2+\cdots+a_{2020}=1$ i $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_{2020} \geq 0$, zaključujemo da je sigurno $a_1>0$ (u suprotnom zbroj nikako ne može biti pozitivan). Također, ako je neki broj u tom nizu jednak 0, zaključujemo da su svi nakon njega također jednaki 0.

Dakle, svaki niz koji zadovoljava dane uvjete će izgledati tako da je prvih nekoliko brojeva međusobno jednako i u zbroju daje 1, dok su svi preostali brojevi jednaki 0. Konačno, za svaki prirodni broj $n \in \{1,2,\ldots,2020\}$ imamo jedinstveno rješenje

$$a_1=\cdots=a_n=\frac{1}{n} \qquad \text{te} \qquad a_{n+1}=\cdots=a_{2020}=0.$$