3. Zadatak

Označimo $\beta=\angle ABC$ i $\gamma=\angle BCA$. Kako je $\angle BAC=60^\circ$, imamo da je $\gamma=120^\circ-\beta$.

Točke $B$, $C$ i nožište visine iz $B$ čine pravokutan trokut, pa je $\angle HBC=90^\circ-\gamma=\beta-30^\circ$. Slično imamo $\angle HCB=90^\circ-\beta$. Budući da je zbroj kutova u trokutu $180^\circ$, slijedi da je $\angle CHB=180^\circ-\angle HBC-\angle HCB=120^\circ$.

Budući da središte upisane kružnice $I$ leži na simetralama kutova trokuta $ABC$, vrijedi

$$\angle ICB=\frac{\gamma}{2}=60^\circ-\frac{\beta}{2} \qquad \text{i} \qquad \angle IBC=\frac{\beta}{2}.$$

Slijedi da je $\angle BIC=180^\circ-\angle ICB-\angle IBC=120^\circ$.

Budući da je $\angle BIC=\angle BHC$, zaključujemo da je četverokut $CHIB$ tetivan. Zato je

$$\angle IHB=\angle ICB=60^\circ-\frac{\beta}{2}.$$

Veličine kutova $\angle HAB$ i $\angle HBA$ izračunamo kao što smo izračunali veličine kutova $\angle HBC$ i $\angle HCB$, pa dobivamo $\angle HAB=90^\circ-\beta$ i $\angle HBA=30^\circ$. Iz trokuta $ABH$ računamo da je $\angle BHA=180^\circ-\angle HAB-\angle HBA=60^\circ+\beta$.

Konačno, imamo

$$\angle AHI=\angle AHB-\angle IHB =(60^\circ+\beta)-\left(60^\circ-\frac{\beta}{2}\right) =\frac{3}{2}\beta=\frac{3}{2}\angle ABC,$$

odakle zaključujemo $2\angle AHI=3\angle ABC$, što je i trebalo dokazati.

Napomena: Uvjeti zadatka osiguravaju da je $30^\circ<\beta<60^\circ$, pa je pravac $BH$ bliži stranici $BC$ nego pravac $BI$, te je analogno pravac $CH$ bliži stranici $AC$ nego pravac $CI$. Tu činjenicu treba istaknuti ako je ona bitna za rješenje, npr. ako se koristi $\angle HCI=\angle HCB-\angle ICB$.