1. Zadatak

Prvo rješenje.

Zapišimo danu jednakost kao

$$n^2+n+10=(k+1)^2.$$

Primijetimo da je izraz s desne strane potpun kvadrat, stoga to mora biti i izraz s lijeve strane. Nadalje, primijetimo da je

$$n^2<n^2+n+10<n^2+8n+16=(n+4)^2$$

za svaki prirodni broj $n$.

Stoga su jedine mogućnosti sljedeće:

• $n^2+n+10=(n+1)^2$, odnosno $n^2+n+10=n^2+2n+1$, odnosno $n=9$, što nam daje rješenje $(n,k)=(9,9)$.
• $n^2+n+10=(n+2)^2=n^2+4n+4$, tj. $n=2$, što nam daje rješenje $(n,k)=(2,3)$.
• $n^2+n+10=(n+3)^2=n^2+6n+9$, tj. $5n=1$ pa vidimo da u ovom slučaju nema rješenja.

Konačno, sva tražena rješenja su $(n,k)=(9,9)$ i $(n,k)=(2,3)$.

Drugo rješenje.

Pomnožimo li danu jednakost s 4, dobivamo $4n^2+4n=4k^2+8k-36$, odnosno ako nadopunimo do potpunih kvadrata $(4n^2+4n+1)+39=4(k^2+2k+1)$, tj.

$$(2n+1)^2+39=(2(k+1))^2.$$

Primijetimo da nužno vrijedi $2(k+1)>2n+1$, stoga postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je $2n+1=a$ i $2(k+1)=a+b$. Rješavamo

$$a^2+39=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$

odnosno $b(b+2a)=39$.

Broj $b$ mora biti neparan djelitelj broja 39, manji od $b+2a$, pa su jedine mogućnosti $b \in \{1,3\}$. Vidimo da za $b=3$ dobivamo rješenje $(n,k)=(2,3)$, te za $b=1$ rješenje $(n,k)=(9,9)$.