6. Zadatak

Prvo rješenje:

Presjeci parabole s koordinatnim osima su $A(x_1,0)$, $C(x_2,0)$ i $B(0,b)$.

Simetrala stranice $AC$ ima jednadžbu

$$x=\frac{x_1+x_2}{2}.$$

Iz Vièteove formule imamo $x_1+x_2=-a$. Prema tome, simetrala stranice $AC$ ima jednadžbu $x=-\frac a2$, pa i središte kružnice ima $x$-koordinatu $-\frac a2$.

Budući da leži na pravcu $y=x$, središte ima koordinate $\left(-\frac a2,-\frac a2\right)$.

Simetrala dužine $AB$ je pravac kroz točku $\left(\frac{x_1}{2},\frac b2\right)$ okomit na $AB$. Koeficijent smjera pravca $AB$ je $\frac{0-b}{x_1-0}=-\frac b{x_1}$, pa jednadžba simetrale stranice $AB$ glasi

$$y-\frac b2=\frac{x_1}{b}\left(x-\frac{x_1}{2}\right),$$

tj.

$$y=\frac b2-\frac{x_1^2}{2b}+\frac{x_1}{b}x.$$

Središte leži na tom pravcu, pa uvrštavanjem njegovih koordinata imamo

$$-\frac a2=\frac b2-\frac{x_1^2}{2b}-\frac{x_1a}{2b},$$

odnosno

$$-ab=b^2-x_1^2-x_1a.$$

S druge strane, $x_1$ je rješenje početne kvadratne jednadžbe pa vrijedi $x_1^2+x_1a+b=0$.

Iz zadnje dvije jednakosti slijedi

$$-ab=b^2+b,$$

tj. $b(a+b+1)=0$.

Uočimo da mora vrijediti $b\ne0$ jer bi se u suprotnom točka $B$ podudarala s $A$ ili $C$. Prema tome, mora vrijediti

$$a+b+1=0.$$

Drugo rješenje:

Presjeci parabole s koordinatnim osima su $A(x_1,0)$, $C(x_2,0)$ i $B(0,b)$.

Simetrala stranice $AB$ je pravac kroz točku $\left(\frac{x_1}{2},\frac b2\right)$ okomit na $AB$. Koeficijent smjera pravca $AB$ je $\frac{0-b}{x_1-0}=-\frac b{x_1}$, pa jednadžba simetrale dužine $AB$ glasi

$$y-\frac b2=\frac{x_1}{b}\left(x-\frac{x_1}{2}\right),$$

tj.

$$y=\frac b2+\frac{x_1^2}{2b}+\frac{x_1}{b}x.$$

Analogno, jednadžba simetrale dužine $BC$ glasi

$$y=\frac b2+\frac{x_2^2}{2b}+\frac{x_2}{b}x.$$

Izjednačavanjem po $x$ dobivamo

$$\frac b{x_1}\left(y-\frac b2-\frac{x_1^2}{2b}\right)=\frac b{x_2}\left(y-\frac b2-\frac{x_2^2}{2b}\right).$$

Sređivanjem dobivamo

$$\frac{2by(x_2-x_1)-b^2(x_2-x_1)}{2x_1x_2}=\frac{x_1-x_2}{2}.$$

Uočimo da je $x_1\ne x_2$ i $b\ne0$ jer u suprotnom ne bismo imali tri različita sjecišta. Dijeljenjem sa $\frac{x_2-x_1}{2}$ dobivamo

$$2b\left(y-\frac b2\right)\cdot\frac1{x_1x_2}=-1.$$

Vièteova formula daje $x_1x_2=b$, pa imamo $2y-b=-1$.

Simetrala stranice $AC$ ima jednadžbu $x=\frac{x_1+x_2}{2}$. Iz Vièteove formule imamo $x_1+x_2=-a$. Prema tome, simetrala stranice $AC$ ima jednadžbu $x=-\frac a2$, pa i središte kružnice ima $x$-koordinatu $-\frac a2$.

Budući da leži na pravcu $y=x$, središte ima koordinate $\left(-\frac a2,-\frac a2\right)$.

Slijedi

$$2\cdot\left(-\frac a2\right)-b=-1,$$

tj. $a+b+1=0$.