1. Zadatak

Izračunamo li prvih nekoliko članova niza možemo naslutiti da je $a_n=(n-2)!$ za sve prirodne brojeve $n\ge2$. Dokažimo tvrdnju matematičkom indukcijom.

Za $n=2$ i $n=3$ vrijedi $a_2=1=0!$ i $a_3=1=1!$.

Neka je $n$ prirodni broj i pretpostavimo da je $a_k=(k-2)!$ za sve prirodne brojeve $k\le n$. Budući da vrijedi

$$a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{a_{n-1}},$$

zbog pretpostavke indukcije slijedi

$$a_{n+1}=(n-2)!+\frac{(n-2)!\cdot(n-2)!}{(n-3)!}$$ $$=(n-2)!+(n-2)!\cdot(n-2)=(n-2)!\cdot(n-1)=(n-1)!.$$

Prema principu matematičke indukcije slijedi da je $a_n=(n-2)!$ za sve $n\ge2$.

Dakle, $a_{2016}=2014!$.