7. Zadatak

Prvo rješenje:

Broj $2016$ je djeljiv brojem $32$ i nije djeljiv brojem $64$.

Uočimo da ne može vrijediti $y=1$. Dakle, mora vrijediti $y\ge2$, pa je $y!$ paran. Zato $x$ mora biti paran broj.

Budući da su onda i $x^2$ i $2016$ djeljivi s $4$, i $y!$ mora biti djeljivo s $4$, pa je $y\ge4$.

Sada možemo zaključiti da je $y!$ djeljivo s $8$, pa $x^2$ mora biti djeljivo s $8$. To znači da $x$ mora biti djeljiv s $4$, odnosno da je $x^2$ djeljivo sa $16$. Dakle, $y!$ je djeljivo sa $16$, pa je $y\ge6$.

Ako je $y\ge8$, onda je $y!$ djeljivo sa $128$, a posebno i s $32$ pa $x^2$ mora biti djeljivo s $32$. To znači da $x$ mora biti djeljiv barem sa $8$, odnosno da je $x^2$ djeljivo i sa $64$.

Iz toga bi slijedilo da je $2016$ djeljivo sa $64$, što nije istina. Zato je $y\le7$.

Provjerom vidimo da $2016+6!$ nije potpun kvadrat, a $2016+7!=7056=84^2$, pa je jedino rješenje $(x,y)=(84,7)$.

Drugo rješenje:

Ako je $y=7$, onda je $x^2=2016+7!=7056=84^2$, pa je jedno rješenje $(x,y)=(84,7)$.

Uvrstimo li redom $y=1$, $y=2$, $\ldots$, $y=6$, dobivamo da bi $x^2$ morao biti jednak

$$2017,\ 2018,\ 2022,\ 2040,\ 2136,\ 2736.$$

Provjerimo kvadrate prirodnih brojeva koji su najbliži navedenim brojevima. To su

$$44^2=1936,\quad45^2=2025,\quad46^2=2116,\quad47^2=2209,$$

te

$$52^2=2704,\quad53^2=2809.$$

Na ovaj način smo provjerili da $2016+y!$ nije kvadrat prirodnog broja za $y\le6$.

Kao u prvom rješenju dokazujemo da $y\ge8$ ne daje rješenje.