3. Zadatak

Prvo rješenje.

Izrazimo li $m$ preko $k$ dobivamo

$$m=\frac{15k^2}{k-20}.$$

Odavde slijedi da je $m$ prirodni broj ako i samo ako je $k>20$ i $k-20$ dijeli $15k^2$. Budući da je

$$\begin{aligned} \frac{15k^2}{k-20} &=\frac{15k^2-20^2\cdot15+20^2\cdot15}{k-20}\\ &=\frac{15(k-20)(k+20)+20^2\cdot15}{k-20}\\ &=15(k+20)+\frac{6000}{k-20}, \end{aligned}$$

$m$ je prirodni broj ako i samo ako je $k>20$ i $k-20$ dijeli 6000. Budući da je

$$6000=2^4\cdot3\cdot5^3,$$

svaki pozitivni djelitelj broja 6000 je oblika $2^a\cdot3^b\cdot5^c$, pri čemu je $a\in\{0,1,2,3,4\}$, $b\in\{0,1\}$ i $c\in\{0,1,2,3\}$. Zato je broj djelitelja broja 6000 jednak $5\cdot2\cdot4=40$. Zaključujemo da traženih parova $(m,k)$ ima 40.

Drugo rješenje.

Zadana jednadžba glasi

$$15k^2-mk+20m=0.$$

Diskriminanta $D=m^2-4\cdot15\cdot20m$ te kvadratne jednadžbe u varijabli $k$ mora biti kvadrat cijelog broja. Zato postoji nenegativni cijeli broj $n$ takav da je

$$m^2-1200m=n^2.$$

Nadopunjavanjem izraza $m^2-1200m$ do potpunog kvadrata dobivamo

$$(m-600)^2=n^2+360000,$$

a faktorizacijom

$$(m-600-n)(m-600+n)=360000.$$

Možemo pisati

$$m-600-n=d_1,\qquad m-600+n=d_2,$$

pri čemu za cijele brojeve $d_1$ i $d_2$ vrijedi $d_1d_2=360000$. Zbrajanjem dobivamo $2m-1200=d_1+d_2$. Zaključujemo da $d_1$ i $d_2$ moraju oba biti parni jer im je zbroj i umnožak paran broj.

Primijetimo da $d_1$ i $d_2$ ne mogu biti negativni jer bi tada zbog A–G nejednakosti vrijedilo

$$2m=1200+d_1+d_2=2\sqrt{d_1d_2}+d_1+d_2\le(-d_1)+(-d_2)+d_1+d_2=0,$$

što je nemoguće za $m\in\mathbb N$.

Budući da je $n^2$ diskriminanta jednadžbe $15k^2-mk+20m=0$ možemo pisati

$$k_1=\frac{m-n}{30},\qquad k_2=\frac{m+n}{30}.$$

Dakle, ako postoji rješenje $(m,k)$, onda 30 dijeli barem jedan od brojeva $m-n$ i $m+n$. Budući da je $m-n-600=d_1$ i $m+n-600=d_2$ zaključujemo da 30 dijeli barem jedan od brojeva $d_1$ i $d_2$.

Budući da tražimo samo parove $(m,k)$, dovoljno je prebrojati koliko ima pozitivnih djelitelja $d_1$ broja 360000 djeljivih s 30 takvih da je

$$d_2=\frac{360000}{d_1}$$

paran broj. Svaki takav $d_1$ možemo zapisati u obliku $2^a\cdot3^b\cdot5^c$, pri čemu je $a\in\{1,2,3,4,5\}$, $b\in\{1,2\}$ i $c\in\{1,2,3,4\}$. Dakle, takvih brojeva ima $5\cdot2\cdot4=40$.