5. Zadatak

Prvo rješenje.

Crvena polja čine jedno povezano područje, a plava polja drugo povezano područje. Ta dva područja su odvojena (izlomljenom) linijom kojoj su krajnje točke na rubu ploče, a svi ostali dijelovi u unutrašnjosti ploče.

Na rubu ploče imamo 104 točke koje su i vrhovi polja. Od tih 104 točaka nijedan od četiri vrha ploče ne može biti krajnja točka spomenute izlomljene linije. Dakle, krajnje točke moramo odabrati između preostalih 100 točaka ruba. Dvije od 100 točaka možemo odabrati na

$$\frac{100\cdot99}{2}$$

načina. Izlomljena linija kojoj su svi dijelovi osim krajnjih točaka u unutrašnjosti ploče jedinstveno je određena odabirom krajnjih točaka. Jednom kad je izlomljena linija odabrana na 2 načina možemo odabrati kako ćemo obojati područja. Zato je traženi broj bojanja ploče

$$2\cdot\frac{100\cdot99}{2}=9900.$$

Drugo rješenje.

Promotrimo proizvoljno bojanje ploče koje zadovoljava uvjete zadatka. Obilazimo li polja ploče kružno, tj. tako prvo obiđemo sva polja prvog retka s lijeva na desno, pa nakon toga sva polja drugog retka s desna na lijevo itd., točno ćemo jednom prijeći s crvenog polja na susjedno plavo i točno jednom s plavog polja na susjedno crveno.

Kad prelazimo s crvenog polja na plavo nazovimo ta polja završno crveno i početno plavo polje. Analogno, kad prelazimo s plavog polja na crveno polje nazovimo ta polja završno plavo i početno crveno polje.

Svako bojanje koje zadovoljava uvjete zadatka jedinstveno je određeno početnim crvenim i početnim plavim poljem. Početno crveno polje možemo odabrati na 100 načina, a početno plavo možemo odabrati na 99 načina. Zato je konačan rezultat

$$100\cdot99=9900.$$

Treće rješenje.

Prebrojimo ona bojanja za koja je gornje lijevo polje ploče plavo. Ukupan broj bojanja bit će jednak dvostrukom dobivenom broju. Razlikujemo dva slučaja, ovisno o tome je li donje desno polje crveno ili plavo.

Ako je donje desno polje ploče plavo, onda sva polja u prvom retku moraju biti plava ili sva polja u drugom retku moraju biti plava. Ta dva podslučaja su simetrična. Ako su sva polja u prvom retku plava, onda crvena polja čine povezan niz polja u drugom retku. Za povezan niz polja u jednom retku ćemo reći da je blok. Bojanje je određeno stupcima u kojima je prvo i zadnje polje crvenog bloka.

Neka je prvo polje bloka u $i$-tom stupcu, a zadnje polje bloka u $j$-tom stupcu. Tada par $(i,j)$ zadovoljava $1\le i\le j\le49$. Parova u kojima je $i=j$ ima 49, a parova za koje je $1\le i<j\le49$ ima

$$\frac{49\cdot48}{2}=49\cdot24,$$

pa je ukupan broj takvih parova $49\cdot25$. Budući da imamo dva podslučaja s jednakim brojem bojanja, u ovom slučaju (donje desno polje je plavo) je ukupan broj bojanja $49\cdot50$.

Ako je donje desno polje ploče crveno, onda plava polja u svakom retku čine blok na početku retka, a crvena polja čine blok na kraju retka.

U prvom retku je broj plavih polja najmanje 1, a najviše 50. U drugom retku je broj plavih polja najmanje 0, a najviše 49. Zato je ukupan broj bojanja u ovom slučaju $50\cdot50$.

Ukupan broj bojanja u kojima je gornje lijevo polje ploče plavo je

$$49\cdot50+50\cdot50=99\cdot50.$$

Zato je ukupan broj svih bojanja $99\cdot50\cdot2=9900$.

Četvrto rješenje.

Razlikujemo sljedeće slučajeve:

1. Sva četiri kutna polja ploče su iste boje.

   Broj stupaca u sredini, koji sadrže i plava i crvena polja, može biti:

   • 1 – taj stupac možemo izabrati na 48 načina (ne može biti prvi ni zadnji);
   • 2 – te stupce možemo izabrati na 47 načina (ne mogu biti prva dva ni zadnja dva);
   • $\ldots$
   • 48 – te stupce možemo izabrati na 1 način (jedina mogućnost je da to budu svi stupci osim prvog i zadnjeg).

   

   Crvena polja mogu biti u donjem ili gornjem retku, pa rezultat množimo s 2. Boju kutnih polja možemo odabrati na 2 načina, pa zato množimo još jednom s 2. Stoga ukupan broj mogućnosti za ovaj slučaj iznosi

   $$2\cdot2\cdot(48+47+\cdots+1)=4\cdot\frac{48\cdot49}{2}=4704.$$

2. Tri kutna polja su jedne boje, a četvrto polje je druge boje.

   Broj stupaca u kojima su oba polja iste boje možemo izabrati na 49 načina. U ostalim stupcima je jedno plavo i jedno crveno polje. Na 2 načina možemo odabrati koje boje će biti tri kutna polja, a kutno polje koje će biti druge boje možemo odabrati na 4 načina. Zato ukupan broj mogućnosti iznosi $2\cdot4\cdot49=392$.

   

3. Dva kutna polja ploče su plava, a dva su crvena.

   (a) Neka su istobojna kutna polja u istom stupcu i svi stupci su jednobojni. Tada na 49 načina možemo odabrati broj stupaca u jednoj boji. Imamo 2 mogućnosti za odabir boje u prvom stupcu, pa je rezultat u ovom slučaju $2\cdot49=98$.

   

   (b) Ako u sredini imamo stupce kojima su polja različite boje, onda kao u prvom slučaju središnje stupce možemo izabrati na

   $$\frac{48\cdot49}{2}$$

   načina. Boju prvog stupca možemo odabrati na 2 načina, a na 2 načina možemo odabrati jesu li polja različite boje u prvom ili drugom retku. Zato je rezultat u ovom slučaju

   $$2\cdot2\cdot\frac{48\cdot49}{2}=4704.$$

   

   (c) Ako su istobojna kutna polja u istom retku, onda su oba retka jednobojna i imamo samo dvije mogućnosti.

   

Ukupan broj mogućnosti je

$$4704+392+98+4704+2=9900.$$