1. Zadatak

Pomoću Pitagorinog poučka iz $|AC|=|BC|=10$ zaključujemo $|AB|=10\sqrt2$. Neka je pravokutnik $PQRS$ upisan u trokut $ABC$ na zadani način.

Označimo $|QR|=x$ i $|PQ|=y$. Trokuti $BRQ$ i $APS$ su jednakokračni, pa imamo $|AP|=x$ i $|BQ|=x$. Odavde slijedi

$$2x+y=10\sqrt2.$$

Sada možemo izraziti površinu pravokutnika preko $x$:

$$P(x)=xy=x(10\sqrt2-2x)=2x(5\sqrt2-x).$$

Funkcija $P(x)$ je kvadratna, a njen maksimum se postiže u apscisi tjemena $x=\frac52\sqrt2$. Zaključujemo da je najveća moguća površina jednaka 25.