3. Zadatak
Neka je prirodan broj. Ploči dimenzija odstranjena su dva nasuprotna kutna polja. Na koliko načina je na tu ploču moguće postaviti figura tako da nikoje dvije ne budu u istom retku ili stupcu?
Prvo rješenje.
Promatrajmo standardnu (dakle, onu kojoj nisu odstranjena kutna polja) ploču dimenzija . Dva nasuprotna kutna polja koja bi trebala biti odstranjena obojimo crnom, a sva ostala polja bijelom bojom.
Dobar raspored je raspored figura na standardnoj ploči u kojem nikoje dvije figure nisu u istom retku ili stupcu. Trebamo odrediti broj različitih dobrih rasporeda takvih da nikoja figura nije na crnom polju.
Najprije, svih dobrih rasporeda ima jer u svakom od redaka moramo izabrati jedinstven stupac u kojem se nalazi figura.
Dobrih rasporeda u kojem je jedna figura na jednom crnom polju je naprosto jer je ta figura u kutu, a sve ostale razmještamo na ostatak ploče, što je standardna ploča dimenzija .
Broj dobrih rasporeda u kojima su oba crna polja zauzeta je (istom logikom kao u prethodnom slučaju) .
Konačno, formula uključivanja i isključivanja nam daje rezultat
Drugo rješenje.
Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da smo odstranili prvo polje u prvom retku i zadnje polje u zadnjem.
Promotrimo prvi redak ploče. Razlikujemo dva slučaja ovisno o tome nalazi li se figura na zadnjem polju.
Ako u njemu figura stoji na zadnjem polju, onda ostale figure možemo razmjestiti na točno načina, što je naprosto standardna ploča (kao i u prvom rješenju).
Ako figura u prvom retku nije na zadnjem mjestu, onda ona može stajati na nekom od mjesta (ono koje nije prvo ni zadnje). Nadalje, figura u zadnjem stupcu može stajati na nekom od mjesta (bilo gdje osim u prvom i zadnjem retku).
Preostalih figura moramo razmjestiti u redaka (ne mogu biti u prvom retku ili u retku gdje se nalazi druga već postavljena figura) te u stupaca (ne mogu biti u zadnjem stupcu ili u stupcu gdje se nalazi prva postavljena figura). To možemo napraviti na načina.
Konačno, ukupno imamo