1. Zadatak

Zapišimo danu jednadžbu kao $a^2+2ab+b^2+b!=131+b^2$, odnosno

$$(a+b)^2=131+b^2-b!.$$

Kako je lijeva strane nenengativna, mora biti $131+b^2\geq b!$.

Primijetimo da je za $b=6$, $167=131+6^2<6!=720$.

Dokažimo da ista nejednakost vrijedi i za sve $b\geq6$, matematičkom indukcijom. Gore je dokazana baza. Pretpostavimo da je $131+b^2<b!$ za neki prirodni broj $b$. Tada je

$$\begin{aligned} (b+1)!&=b!\cdot(b+1)\\ &>(131+b^2)\cdot(b+1)=b^3+b^2+131b+131\\ &>b^2+2b+1+131\\ &=(b+1)^2+131. \end{aligned}$$

Po principu matematičke indukcije zaključujemo da je $b!>131+b^2$, za svaki prirodni broj $b\geq6$.

Dakle $b\in\{0,1,2,3,4,5\}$. Uvrštavanjem $b=0,1,2,3,4$ vidimo da niti jedan cijeli broj $a$ ne zadovoljava jednakost.

Konačno, uvrštavanjem $b=5$ dobivamo jedina dva rješenja: $(a,b)\in\{(1,5),(-11,5)\}$.

Napomena: Nejednakost $131+b^2<b!$ može se dokazati i bez matematičke indukcije. Primjerice, za brojeve $b\geq6$ vrijedi

$$b!\geq b\cdot(b-1)\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=24(b^2-b)\geq12b^2\geq b^2+11\cdot36>b^2+131,$$

gdje smo iskoristili $2(b^2-b)\geq b^2$, što je ekvivalentno $b(b-2)\geq0$.