5. Zadatak

Neka je $H'$ centralnosimetrična slika točke $H$ s obzirom na točku $M$. Budući da se dužine $\overline{AB}$ i $\overline{HH'}$ međusobno raspolavljaju, četverokut $AH'BH$ je paralelogram. Iz toga slijedi da je pravac $BH$ paralelan s $H'A$, a pravac $AH$ paralelan s $H'B$.

Budući da je pravac $AC$ okomit na $BH$, slijedi da je okomit i na $H'A$, odnosno

$$|\angle H'AC|=90^\circ.$$

Jednako tako, budući da je pravac $BC$ okomit na $AH$, slijedi da je okomit i na $H'B$, to jest,

$$|\angle H'BC|=90^\circ.$$

Iz prethodnih dviju jednakosti prema obratu Talesovog poučka slijedi da je $\overline{CH'}$ promjer opisane kružnice trokuta $ABC$.

Neka je $X$ drugo sjecište pravca $HH'$ i opisane kružnice trokuta $ABC$. Prema Talesovom poučku imamo

$$|\angle HXC|=|\angle H'XC|=90^\circ,$$

odakle slijedi da točka $X$ leži na kružnici promjera $\overline{CH}$.

Dakle, opisana kružnica trokuta $ABC$, kružnica promjera $\overline{CH}$ i pravac $HM$ se sijeku u točki $X$.

Neka je sada $B'$ sjecište pravaca $AX$ i $CH$ te označimo $|\angle CBA|=\beta$. Budući da je četverokut $ABCX$ tetivan, vrijedi $|\angle CXA|=180^\circ-\beta$. Zato slijedi

$$|\angle B_1XB'|=|\angle HXA|=|\angle CXA|-|\angle CXH|=(180^\circ-\beta)-90^\circ=90^\circ-\beta.$$

S druge strane,

$$|\angle B_1CB'|=|\angle BCH|=90^\circ-|\angle CBA|=90^\circ-\beta.$$

Dakle, $|\angle B_1XB'|=|\angle B_1CB'|$ pa slijedi da je četverokut $B_1CXB'$ tetivan. Zato

$$|\angle B_1B'C|=180^\circ-|\angle CXB_1|=90^\circ,$$

iz čega dobivamo da je $B'$ nožište okomice iz točke $B_1$ na pravac $CH$. Drugim riječima, točke $B'$ i $B_2$ se podudaraju.

Posebno, pravac $AB_2$ prolazi točkom $X$. Analogno se pokaže i da pravac $BA_2$ prolazi tom točkom, odakle slijedi tvrdnja zadatka.