1. Zadatak

Pitagorin poučak nam govori da je hipotenuza pravokutnog trokuta u pitanju duljine

$$\sqrt{5^2+12^2}=13.$$

Označimo sada vrhove nasuprot stranica duljina $12$, $5$ i $13$ s $A$, $B$ i $C$ redom.

Označimo vrhove pravokutnika s $K$, $L$, $M$ i $N$ kao na slici.

Kako je trokut $ANK$ sličan trokutu $ABC$, znamo da je

$$|KN|=\frac{12}{13}\cdot|AN|.$$

S druge strane, kako je trokut $NLC$ sličan trokutu $ABC$, znamo da je

$$|NL|=\frac{13}{5}\cdot|NC|=\frac{13}{5}\cdot(5-|AN|).$$

Površina pravokutnika $KLMN$ je tada jednaka

$$P_{KLMN}=|KN|\cdot|NL|=\frac{12}{5}\left(5|AN|-|AN|^2\right).$$

Kako je površina izražena kao kvadratna funkcija u $|AN|$, čiji je vodeći koeficijent negativan, najveća vrijednost se postiže u tjemenu, odnosno kada je $|AN|=\frac52$. Najveća moguća površina tada iznosi

$$\frac{12}{5}\left(5\cdot\frac52-\left(\frac52\right)^2\right)=15.$$