3. Zadatak

Neka je $a=m^2+t$ i $b=m^2+s$ za $1\leq s,t<m$. Neka je $d=m^2+r$ za $1\leq r<m$ djelitelj od $ab$. Tada je

$$m^2+r\mid(m^2+t)(m^2+s).$$

Broj $m^2+t$ daje isti ostatak pri dijeljenju s $m^2+r$ kao i $m^2+t-(m^2-r)=t-r$. Slično, $m^2+s$ daje isti ostatak kao $s-r$. Stoga

$$m^2+r\mid(s-r)(t-r).$$

Kako su $r,s,t$ prirodni brojevi između $m^2$ i $m^2+m$, slijedi $|s-r|<m$ i $|t-r|<m$, pa je $|(s-r)(t-r)|<m^2<m^2+r$. Jedini način da broj koji je po apsolutnoj vrijednosti manji od $m^2+r$ bude djeljiv s $m^2+r$ je ako je taj broj jednak $0$. Slijedi da je $r=s$ ili $r=t$, pa je $d=a$ ili $d=b$.

Za $d=a$ i $d=b$ uvjet zadatka je zadovoljen, pa zaključujemo da su $a$ i $b$ jedini brojevi koji zadovoljavaju uvjet zadatka.