1. Zadatak

Označimo

$$P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n=(x+1)^3(x+2)^3\cdots(x+672)^3.$$

To je polinom stupnja $3\cdot672=2016$. Uočimo da je

$$\begin{aligned} P(1)&=a_0+a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{2014}+a_{2015}+a_{2016},\\ P(-1)&=a_0-a_1+a_2-a_3+\ldots+a_{2014}-a_{2015}+a_{2016}. \end{aligned}$$

Zbrajanjem dobivamo

$$P(1)+P(-1)=2a_0+2a_2+\ldots+2a_{2014}+2a_{2016}.$$

Kako je $a_0=P(0)$, vrijedi

$$a_2+a_4+\ldots+a_{2016}=\frac12\bigl(P(1)+P(-1)\bigr)-P(0).$$

Računamo:

$$P(0)=1^3\cdot2^3\cdots672^3=(672!)^3,$$ $$P(1)=2^3\cdot3^3\cdots673^3=(673!)^3,$$ $$P(-1)=0.$$

I konačno dobivamo

$$a_2+a_4+\ldots+a_{2016}=\frac12\bigl(P(1)+P(-1)\bigr)-P(0)=\frac12(673!)^3-(672!)^3.$$