5. Zadatak

Za $n=1$, očito postoji jedan traženi način. Neka je nadalje $n>1$. U svakom retku i svakom stupcu mora biti točno jedan od brojeva 2 ili $-2$.

Možemo odvojeno odrediti na kojim mjestima u tablici će se nalaziti brojevi čija je apsolutna vrijednost 2 i na kojim mjestima će se nalaziti negativni brojevi. Mjesta za brojeve koji imaju apsolutnu vrijednost 2 možemo odabrati na $n!$ načina.

U svakom retku (odnosno stupcu) možemo proizvoljno odabrati predznak za $n-1$ brojeva, a preostali broj ima jednoznačno određen predznak kako bi umnožak bio negativan. Neka je $P$ dio promatrane tablice koji se sastoji od $(n-1)^2$ polja u prvih $n-1$ redaka i $n-1$ stupaca. Nadalje, označimo s $x$ broj u $n$-tom retku i $n$-tom stupcu, s $a_1,\ldots,a_{n-1}$ preostale brojeve u $n$-tom retku, a s $b_1,\ldots,b_{n-1}$ preostale brojeve u $n$-tom stupcu.

Svaki raspored predznaka za koji je umnožak u svakom stupcu i svakom retku negativan u potpunosti je određen predznacima brojeva u $P$. Obratno, ako na proizvoljan način rasporedimo predznake brojeva u $P$, onda su zbog dosad napisanog jednoznačno određeni predznaci brojeva $a_1,\ldots,a_{n-1},b_1,\ldots,b_{n-1}$.

Moramo još utvrditi možemo li predznak broja $x$ namjestiti tako da umnožak i u $n$-tom retku i u $n$-tom stupcu bude negativan. Predznak broja $x$ mora biti suprotan od predznaka umnoška $a_1a_2\cdots a_{n-1}$, te mora biti suprotan od predznaka umnoška $b_1b_2\cdots b_{n-1}$. Dakle, potrebno je provjeriti da su predznaci umnožaka $a_1a_2\cdots a_{n-1}$ i $b_1b_2\cdots b_{n-1}$ jednaki.

Ako je $n$ paran (odnosno neparan), onda je umnožak svih brojeva u prvih $n-1$ stupaca negativan (odnosno pozitivan). Zbog toga su umnožak $a_1a_2\cdots a_{n-1}$ i umnožak svih brojeva iz $P$ suprotnog (odnosno istog) predznaka ako je $n$ paran (odnosno neparan). Isto vrijedi za umnožak $b_1b_2\cdots b_{n-1}$, pa slijedi tvrdnja iz prethodnog odlomka.

Dakle, broj traženih rasporeda predznaka u čitavoj tablici jednak je broju proizvoljnih rasporeda predznaka u $P$, a to je $2^{(n-1)^2}$. Konačan rezultat je

$$n!\cdot2^{(n-1)^2}.$$