3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $P$ sjecište pravaca $AD$ i $BE$, a $Q$ sjecište $AC$ i $DE$.

$P$ i $Q$">

Budući da je točka $E$ na opisanoj kružnici trokuta $ABD$, slijedi $\angle BAD=\angle BED$ (obodni kutovi nad tetivom $BD$). Budući da je $\angle DPE=90^\circ$, slijedi

$$\angle BED=\angle PED=90^\circ-\angle EDP=90^\circ-\angle QDA.$$

Budući da je $\angle DQA=90^\circ$, slijedi

$$\angle DAC=\angle DAQ=90^\circ-\angle QDA.$$

Dakle, $\angle BED=90^\circ-\angle QDA=\angle DAC$. Zaključujemo da je

$$\angle BAD=\angle BED=\angle DAC,$$

tj. $AD$ je simetrala kuta $BAC$.

Drugo rješenje.

Neka je $P$ sjecište pravaca $AD$ i $BE$, a $Q$ sjecište $AC$ i $DE$. Budući da je točka $E$ na opisanoj kružnici trokuta $ABD$ slijedi

$$\angle ABP=\angle ABE=[\text{obodni nad lukom }AE]=\angle ADE=\angle ADQ.$$

Budući da je $\angle BPA=\angle DQA=90^\circ$, zaključujemo da trokuti $ABP$ i $ADQ$ imaju iste kutove. Stoga je

$$\angle BAD=\angle BAP=\angle DAQ=\angle DAC,$$

tj. $AD$ je simetrala kuta $BAC$.