2. Zadatak

Prvo rješenje.

Tvrdnju dokazujemo matematičkom indukcijom. Za $n=3$ vrijedi

$$1=\frac12+\frac13+\frac16.$$

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za $n=k$, tj. pretpostavimo da postoje međusobno različiti prirodni brojevi $a_1,a_2,\ldots,a_k$ takvi da je

$$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\ldots+\frac1{a_k}=1.$$

Uočimo

$$\frac12=\frac12\left(\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\ldots+\frac1{a_k}\right)=\frac1{2a_1}+\frac1{2a_2}+\ldots+\frac1{2a_k}.$$

Očito su $a_1,a_2,\ldots,a_k>1$, pa su brojevi $2,2a_1,2a_2,\ldots,2a_k$ međusobno različiti. To znači da postoji $k+1$ prirodnih brojeva s traženim svojstvom:

$$2,2a_1,2a_2,\ldots,2a_k,$$

tj. tvrdnja vrijedi za $n=k+1$. Po principu matematičke indukcije zaključujemo da tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj $n\ge3$.

Drugo rješenje.

Tvrdnju ćemo dokazati matematičkom indukcijom. Točnije, dokazat ćemo tvrdnju: za svaki $n\ge3$ postoje prirodni brojevi $a_1<a_2<\ldots<a_n$, takvi da je $a_n$ paran broj i da vrijedi

$$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\ldots+\frac1{a_n}=1.$$

Za $n=3$ takvi brojevi su $a_1=2$, $a_2=3$, $a_3=6$. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za $n=k$, tj. pretpostavimo da postoje međusobno različiti prirodni brojevi $a_1,a_2,\ldots,a_k$ takvi da je

$$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\ldots+\frac1{a_k}=1,$$

pri čemu je najveći od tih brojeva, $a_k$, paran. Vrijedi

$$\frac1{a_k}=\frac2{3a_k}+\frac1{3a_k}=\frac1{\frac32a_k}+\frac1{3a_k}.$$

Zato je

$$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\ldots+\frac1{a_{k-1}}+\frac1{\frac32a_k}+\frac1{3a_k}=1.$$

Kako je broj $a_k$ paran, $\frac32a_k$ je prirodni broj. Uočimo još da su zbog

$$a_1<a_2<\ldots<a_{k-1}<a_k<\frac32a_k<3a_k$$

svi nazivnici u gornjem zbroju međusobno različiti, te da je nazivnik najmanjeg razlomka, broj $3a_k$, paran. Time smo dokazali da tvrdnja vrijedi i za $n=k+1$. Po principu matematičke indukcije zaključujemo da tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj $n\ge3$.

Treće rješenje.

Tvrdnju ćemo dokazati matematičkom indukcijom s korakom 2. To znači da dokazujemo: ako tvrdnja vrijedi za $k$, onda vrijedi i za $k+2$. Da bi takav dokaz bio korektan, bazu indukcije čine dva uzastopna broja.

Za $n=3$ takvi su brojevi $a_1=2$, $a_2=3$, $a_3=6$. Za $n=4$ uzmimo $a_1=2$, $a_2=4$, $a_3=6$, $a_4=12$ ili $a_1=2$, $a_2=3$, $a_3=9$, $a_4=18$.

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za $n=k$, tj. pretpostavimo da postoje različiti prirodni brojevi $a_1,a_2,\ldots,a_k$ takvi da je

$$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\ldots+\frac1{a_k}=1.$$

Neka je $a_k$ najveći od brojeva $a_i$ ($i=1,\ldots,k$). Vrijedi

$$\frac1{a_k}=\frac1{a_k}\left(\frac12+\frac13+\frac16\right)=\frac1{2a_k}+\frac1{3a_k}+\frac1{6a_k},$$

što znači da pribrojnik $\frac1{a_k}$ možemo zamijeniti s ta tri pribrojnika, a zbroj se neće promijeniti. Uočimo još da su $2a_k$, $3a_k$ i $6a_k$ veći od svih brojeva $a_i$ ($i=1,\ldots,k-1$), pa postoji $k+2$ međusobno različitih prirodnih brojeva s traženim svojstvom:

$$a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{k-1},2a_k,3a_k,6a_k.$$

Dakle, tvrdnja vrijedi za $n=k+2$. Po principu matematičke indukcije zaključujemo da tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj $n\ge3$.