1. Zadatak

Broj $6^m+2^n+2=2(3^m\cdot2^{m-1}+2^{n-1}+1)$ je paran. Da bi bio potpun kvadrat, izraz u zagradi mora biti paran, odnosno točno jedan od brojeva $2^{m-1}$, $2^{n-1}$ mora biti neparan. To znači da je jedan od brojeva $m$ i $n$ jednak 1, a drugi veći od 1.

Prvi slučaj. $m=1$. Tražimo prirodne brojeve $n$ za koje je $6^1+2^n+2=2^n+8$ potpun kvadrat. Kako je $2^n+8=4(2^{n-2}+2)$, zaključujemo da i $2^{n-2}+2$ mora biti potpun kvadrat. Ako je $n\ge4$, onda je $2^{n-2}+2$ paran broj koji nije djeljiv s 4, pa nije potpun kvadrat. Preostaje ispitati slučajeve $n=2,3$. Samo za $n=3$ taj je broj potpun kvadrat.

Drugi slučaj. $n=1$. Kako broj $6^m+2^1+2\equiv(-1)^m+4\pmod7$ daje ostatak 3 ili 5 pri dijeljenju sa 7, on ne može biti potpun kvadrat, jer potpun kvadrat pri dijeljenju sa 7 daje ostatak 0, 1, 2 ili 4. Dakle, jedino rješenje je $(m,n)=(1,3)$.

Drugi način. Drugi slučaj može se riješiti i promatrajući ostatke modulo 4: Pretpostavimo da postoji $x\in\mathbb N$ takav da je $6^m+4=x^2$. Tada je $6^m=(x-2)(x+2)$. Brojevi $x-2$ i $x+2$ se razlikuju za 4, pa daju isti ostatak pri dijeljenju s 4. Njihov umnožak je $2^m\cdot3^m$. Njihova najveća zajednička mjera $M(x-2,x+2)=M(x-2,4)$ može biti samo 1, 2 ili 4. Ako je mjera jednaka 1, dobivamo $x-2=2^m$, $x+2=3^m$. Ovo je nemoguće jer je $2^m$ paran, a $3^m$ neparan broj. Ako je mjera jednaka 2, oba broja moraju dati ostatak 2 pri dijeljenju s 4. To znači da je $m=2$, no tada $x^2=6^2+4=40$ nije potpun kvadrat. Ako je mjera jednaka 4, dobivamo $x-2=2^{m-2}$, $x+2=4\cdot3^m$. No, očito je $2^{m-2}+4<3^m$, pa ni u ovom slučaju nema rješenja.