2. Zadatak

Označimo duljine stranica i mjere kuteva trokuta $ABC$ standardno $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Neka je točka $P$ polovište stranice $\overline{AB}$, točka $D$ sjecište navedenih simetrala, a točka $E$ sjecište simetrale $\angle ACB$ i stranice $\overline{AB}$. Potrebno je pomoću $a$, $b$ i $c$ izraziti površinu trokuta $DEP$. Budući da je $DEP$ pravokutan trokut s katetama $\overline{PD}$ i $\overline{PE}$ vrijedi

$$P(DEP)=\frac{|PD|\cdot|PE|}2.\qquad(1)$$

Prema poučku o simetrali kuta vrijedi $\dfrac ab=\dfrac{|BE|}{|AE|}$, pa zbog $|AE|+|BE|=c$ dobivamo $|BE|=\dfrac{ca}{a+b}$. Kako je $P$ polovište stranice $\overline{AB}$ slijedi

$$|PE|=|PB|-|EB|=\frac c2-\frac{ca}{a+b}=\frac{c(b-a)}{2(a+b)}.\qquad(2)$$

Primijetimo da i simetrala kuta $\angle ACB$ i simetrala stranice $\overline{AB}$ raspolavljaju luk $\widehat{AB}$ opisane kružnice trokutu $ABC$ iz čega zaključujemo da je upravo točka $D$ polovište tog luka, to jest $D$ leži na kružnici opisanoj trokutu $ABC$. Prema poučku o obodnom kutu primijenjenom na kuteve nad tetivom $\overline{DB}$ slijedi

$$\angle DAP=\angle DAB=\angle DCB=\frac\gamma2.$$

Sada iz pravokutnog trokuta $PAD$ zaključujemo da je

$$|PD|=|AP|\operatorname{tg}\frac\gamma2=\frac c2\cdot\operatorname{tg}\frac\gamma2.\qquad(3)$$

Preostaje izraziti $\operatorname{tg}\dfrac\gamma2$ pomoću $a$, $b$, $c$. Neka je $s=\dfrac{a+b+c}2$ poluopseg, $I$ središte upisane kružnice trokutu $ABC$ te $J$ projekcija točke $I$ na stranicu $\overline{BC}$. Tada je $|CJ|=\dfrac{a+b-c}2=s-c$, pa iz trokuta $CIJ$ zaključujemo da je $\operatorname{tg}\dfrac\gamma2=\dfrac r{s-c}$. Izjednačavanjem izraza za površinu trokuta

$$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=P(ABC)=r\cdot s$$

slijedi

$$r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}s},$$

pa je

$$\operatorname{tg}\frac\gamma2=\frac r{s-c}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}.\qquad(4)$$

Alternativno,

$$\operatorname{tg}\frac\gamma2=\sqrt{\frac{1-\cos\gamma}{1+\cos\gamma}}=\sqrt{\frac{1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}}=\sqrt{\frac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2ab+a^2+b^2-c^2}}=\sqrt{\frac{c^2-(a-b)^2}{(a+b)^2-c^2}}.$$

Sada iz (1), (2), (3) i (4) slijedi

$$\begin{aligned}P(DEP)&=\frac12\cdot|PE|\cdot|PD|\\&=\frac12\cdot\frac{c(b-a)}{2(a+b)}\cdot\frac c2\cdot\operatorname{tg}\frac\gamma2\\&=\frac12\cdot\frac{c(b-a)}{2(a+b)}\cdot\frac c2\cdot\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}\\&=\frac{c^2(b-a)}{8(a+b)}\sqrt{\frac{(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}.\end{aligned}$$