4. Zadatak

Prvo rješenje.

Zbrajanjem jednadžbi dobivamo

$$x^3+2x^2+\frac1{4x}+y^3+2y^2+\frac1{4y}+z^3+2z^2+\frac1{4z}=3. \tag{*}$$

Dokazat ćemo da je $x^3+2x^2+\frac1{4x}\ge1$. Množenjem s $4x$ (što je pozitivno), vidimo da je ta nejednakost ekvivalentna s $4x^4+8x^3+1\ge4x$, odnosno s $(2x^2+2x-1)^2\ge0$, što očito vrijedi.

Stoga, da bi lijeva strana u $(*)$ bila jednaka $3$, u dokazanoj nejednakosti zapravo mora vrijediti jednakost, odnosno mora biti $2x^2+2x-1=0$.

Rješavanjem te kvadratne jednadžbe dobivamo

$$x=\frac{-1\pm\sqrt3}{2}.$$

Budući da je $x$ pozitivan, slijedi da je $x=\frac{-1+\sqrt3}{2}$. Isto vrijedi za preostale nepoznanice, pa je

$$x=y=z=\frac{-1+\sqrt3}{2}$$

jedino rješenje.

Drugo rješenje.

Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je $x\ge y$ i $x\ge z$. Vrijedi:

$$x^3+2y^2+\frac1{4z}=y^3+2z^2+\frac1{4x}.$$

Prvi član na lijevoj strani je veći (ili jednak) od prvog na desnoj strani, a treći na lijevoj strani je veći (ili jednak) od trećeg na desnoj, pa drugi na lijevoj strani mora biti manji (ili jednak) od drugog na desnoj. Dakle, $z\ge y$, tj. $x\ge z\ge y$.

Međutim, tada je

$$y^3+2z^2+\frac1{4x}\le z^3+2x^2+\frac1{4y},$$

a mora vrijediti jednakost, pa je $x=y=z$.

Preostaje riješiti jednadžbu $4x^4+8x^3-4x+1=0$. Jednadžbu možemo zapisati u obliku

$$(2x^2+2x-1)^2=0,$$

odakle slijedi $2x^2+2x-1=0$. Jedino pozitivno rješenje te jednadžbe je $x=\frac{-1+\sqrt3}{2}$, pa je

$$x=y=z=\frac{-1+\sqrt3}{2}$$

jedino rješenje sustava.