3. Zadatak

Neka je $\angle BAC=\alpha$, $\angle CBA=\beta$ i $\angle ACB=\gamma$.

Neka je $I'$ presjek simetrale kuta $\angle BAC$ i pravca $DE$. Dovoljno je pokazati da $I'$ leži na simetrali kuta $\angle BCA$, tj. da je $\angle ACI'=\frac12\gamma$.

Budući da je $t$ tangenta na kružnicu opisanu trokutu $ABC$, vrijedi $\angle DAF=\angle BAF=\gamma$.

Kut $\angle DAF$ je središnji, a $\angle DEF$ obodni nad tetivom $DF$, pa je $\angle DEA=\angle DEF=\frac12\gamma$.

Analogno, $\angle DEC=\frac12\angle DAC=\frac12\alpha$.

Kako je $AI'$ simetrala kuta $\angle BAC$, vrijedi $\angle I'AC=\frac12\alpha$, pa zbog $\angle I'AC=\angle I'EC$ zaključujemo da je $AI'CE$ tetivni četverokut. Zato je

$$\angle ACI'=\angle AEI'=\angle FED=\frac12\gamma.$$