1. Zadatak

Prvo rješenje.

Promotrimo kvadratnu funkciju

$$f(x)=ax^2+2bx+c.$$

Iz uvjeta čitamo

$$a+2b+c>0\ \Longrightarrow\ f(1)>0,$$

odnosno

$$a-2b+c<0\ \Longrightarrow\ f(-1)<0.$$

Budući da je $f(-1)<0$, a $f(1)>0$, zaključujemo da funkcija $f$ mora imati nultočku između $-1$ i $1$. Kako se radi o kvadratnoj funkciji, zaključujemo da $f$ ima dvije (različite) realne nultočke. Odavde slijedi da joj je diskriminanta pozitivna:

$$4b^2-4ac>0\ \Longrightarrow\ b^2>ac,$$

što je trebalo pokazati.

Drugo rješenje.

Prema uvjetima zadatka vrijedi $-2b<a+c<2b$, tj. $(a+c)^2<4b^2$. Budući da vrijedi $(a+c)^2\ge4ac$, slijedi $4b^2>4ac$, tj. $b^2>ac$.