6. Zadatak

Iz Pitagorinog poučka je

$$|AC|=\sqrt{|AB|^2+|BC|^2}=\sqrt{4}=2.$$

Neka je $I$ središte kružnice upisane trokutu $ABC$, te $E$ i $F$ redom dirališta upisane kružnice sa stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$. U četverokutu $IEBF$ su tri prava kuta te su stranice $IE$ i $IF$ radijusi upisane kružnice. Zaključujemo da je taj četverokut kvadrat, a duljina njegove stranice je polumjer $r$ kružnice upisane trokutu $ABC$.

Površinu trokuta $ABC$ možemo izračunati na dva načina:

$$P=\frac{|AB|\cdot|BC|}{2}\qquad\text{i}\qquad P=r\cdot s,$$

gdje je $s$ poluopseg trokuta $ABC$.

Poluopseg iznosi

$$s=\frac{1+2+\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}.$$

Iz jednakosti za površinu trokuta redom dobivamo

$$\frac{|AB|\cdot|BC|}{2}=r\cdot s,$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}=r\cdot\frac{3+\sqrt{3}}{2},$$ $$r=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$

Oba trokuta $AMI$ i $AEI$ su pravokutna sa zajedničkom hipotenuzom i jedna kateta im je radijus kružnice $r$. Zato su i sukladni, pa imamo

$$|AM|=|AE|=|AB|-|BE|=|AB|-r=1-\frac{\sqrt{3}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}.$$

Trokuti $CDA$ i $ABC$ su sukladni, pa na analogan način dobivamo da je $|CN|=|AM|$.

Konačno je

$$|MN|=|AC|-|AM|-|CN|=2-2\cdot\frac{3-\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}-1.$$