1. Zadatak

Prvo rješenje.

Riješimo kvadratnu jednadžbu po $n$:

$$n_{1,2}=\frac{2p+9\pm\sqrt{(2p+9)^2-4\cdot6\cdot(p+3)}}{12}$$ $$=\frac{2p+9\pm\sqrt{(2p+3)^2}}{12}$$ $$=\frac{2p+9\pm(2p+3)}{12},$$ $$n_1=\frac{4p+12}{12}=\frac{p}{3}+1,\qquad n_2=\frac{6}{12}=\frac12.$$

Budući da je $n$ prirodan broj, $n_2$ nije moguće rješenje.

Za $n_1$ dobivamo uvjet da je $\frac{p}{3}+1$ prirodan broj, a jedini prost broj djeljiv s $3$ je $p=3$.

Jedino rješenje jednadžbe je $n=2$, $p=3$.

Drugo rješenje.

Riješimo jednadžbu po $p$:

$$-2pn+p=9n-6n^2-3,$$ $$p=\frac{9n-6n^2-3}{1-2n},$$ $$p=\frac{(3n-3)(2n-1)}{2n-1},$$ $$p=3n-3=3(n-1).$$

Budući da je $p$ prost, faktor $n-1$ mora biti jednak $1$, tj. $n=2$.

Jedino rješenje je $n=2$, $p=3$.