7. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $a$, $b$, $c$ i $d$ prirodni brojevi takvi da je

$$x=\frac{a}{b},\qquad y=\frac{c}{d},\qquad \operatorname{NZD}(a,b)=1,\qquad \operatorname{NZD}(c,d)=1.$$

Iz uvjeta zadatka imamo da su brojevi

$$\frac{a}{b}+\frac{d}{c}=\frac{ac+bd}{bc}\qquad\text{i}\qquad\frac{b}{a}+\frac{c}{d}=\frac{bd+ac}{ad}$$

prirodni.

Posebno, prirodan je i broj

$$a\cdot\frac{bd+ac}{ad}=\frac{bd+ac}{d}=b+\frac{ac}{d},$$

pa je zato i $\frac{ac}{d}$ prirodan. Kako su $c$ i $d$ relativno prosti, $\frac{a}{d}$ je nužno prirodan broj.

Analogno, prirodan je i broj

$$d\cdot\frac{bd+ac}{ad}-c=\frac{bd+ac}{a}-c=\frac{bd}{a},$$

pa zbog $\operatorname{NZD}(a,b)=1$ vrijedi da je $\frac{d}{a}$ prirodan broj.

Jedini način da su oba broja $\frac{a}{d}$ i $\frac{d}{a}$ prirodna je da vrijedi $a=d$.

Analogno, promatrajući brojeve $b\cdot\frac{ac+bd}{bc}$ i $c\cdot\frac{ac+bd}{bc}-d$, dobivamo da vrijedi $b=c$.

Dakle, dobivamo da su brojevi

$$x+\frac1y=\frac{2a}{b}\qquad\text{i}\qquad y+\frac1x=\frac{2b}{a}$$

prirodni.

Budući da su $a$ i $b$ relativno prosti, dobivamo da su $a$ i $b$ djelitelji broja $2$, odakle su nužno jednaki $1$ ili $2$.

Provjerom svih slučajeva dobivamo tri rješenja za $(x,y)$:

$$\left(\frac12,2\right),\qquad(1,1),\qquad\left(2,\frac12\right).$$

Drugo rješenje.

Umnožak dva prirodna broja je prirodan broj, stoga je i broj

$$\left(x+\frac1y\right)\left(y+\frac1x\right)=xy+\frac1{xy}+2$$

prirodan, pa je i taj broj umanjen za $2$ također prirodan.

Definirajmo prirodan broj $n=xy+\frac1{xy}$ i racionalan $t=xy$. Oni zadovoljavaju jednadžbu

$$t^2-nt+1=0.$$

Budući da su rješenja te jednadžbe racionalni brojevi, diskriminanta $n^2-4$ te jednadžbe mora biti kvadrat nenegativnog racionalnog broja. Kako je to i cijeli broj, nužno je kvadrat nenegativnog cijelog broja, pa postoji cijeli broj $k\geq0$ takav da je

$$n^2-4=k^2.$$

Brojevi $n-k$ i $n+k$ su cijeli brojevi iste parnosti, a $n+k$ je i prirodan. Stoga iz

$$(n-k)(n+k)=4$$

je moguće jedino $n-k=n+k=2$, tj. $n=2$ i $k=0$.

Uvrštavanjem u kvadratnu jednadžbu po $t$ dobivamo da je $t=1$, odnosno $xy=1$.

Slijedi da su brojevi $x+\frac1y=2x$ i $y+\frac1x=2y$ prirodni.

Jedno očito rješenje je $x=y=1$. Ako je neki od brojeva $x$ i $y$ manji od $1$, on će pomnožen s $2$ biti prirodan samo ako je jednak $\frac12$.

Zato imamo tri moguća rješenja za $(x,y)$:

$$\left(\frac12,2\right),\qquad(1,1),\qquad\left(2,\frac12\right).$$