3. Zadatak

Označimo s $x$ mjesto na kojem treba presjeći žicu, odnosno neka je $x$ opseg kvadrata, a $10-x$ opseg trokuta.

Tada je površina kvadrata $\frac{x^2}{16}$, dok je površina jednakostraničnog trokuta

$$\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{10-x}{3}\right)^2.$$

Ukupna površina likova je

$$\frac{x^2}{16}+\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{10-x}{3}\right)^2 =\frac{1}{144}\left[(9+4\sqrt{3})x^2-80\sqrt{3}x+400\sqrt{3}\right].$$

Dobili smo kvadratnu funkciju oblika $ax^2+bx+c$. Kako je vodeći koeficijent $a$ pozitivan, izraz postiže najmanju vrijednost u tjemenu kvadratne funkcije.

Njegovu vrijednost nalazimo po formuli $x_0=-\frac{b}{2a}$. Stoga je

$$x_0=\frac{40\sqrt{3}}{9+4\sqrt{3}} =\frac{40\sqrt{3}(9-4\sqrt{3})}{(9-4\sqrt{3})(9+4\sqrt{3})} =\frac{40(3\sqrt{3}-4)}{11}.$$

Zaključujemo da žicu treba presjeći na udaljenosti

$$x_0=\frac{40(3\sqrt{3}-4)}{11}$$

od njegovog ruba.

Zadatak se može riješiti i uzimajući kao nepoznanicu neke druge mjere iz zadatka. Ako se kao $y$ uzme opseg jednakostraničnog trokuta, za rješenje se dobije

$$y_0=10-x_0=\frac{270-120\sqrt{3}}{11}=\frac{30(9-4\sqrt{3})}{11}.$$

U tom slučaju točno rješenje je također da žicu treba presjeći na udaljenosti $y_0$ od ruba. U slučajevima da se za nepoznanicu uzme duljina stranice kvadrata ili duljina stranice jednakostraničnog trokuta, za rješenje se redom dobije $\frac{x_0}{4}$ ili $\frac{y_0}{3}$.