5. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo zajedničko rješenje s $x_0$. Izjednačimo jednadžbe i dobivamo:

$$x_0^2+ax_0+b=x_0^2+bx_0+a,$$ $$x_0a-x_0b+b-a=0,$$ $$x_0(a-b)-(a-b)=0,$$ $$(x_0-1)(a-b)=0.$$

Iz uvjeta $a\neq b$ dobivamo $x_0=1$.

Uvrštavanjem u jednadžbe dobivamo nužan uvjet za $a$ i $b$:

$$1+a+b=0.$$

Dakle, broj $1$ je rješenje kvadratnih jednadžbi ako i samo ako vrijedi gornja relacija.

Među takvim parovima treba izbaciti one za koje vrijedi $a=b=-1-a$, odnosno

$$a=-\frac12.$$

Stoga, rješenja su svi parovi $\{a,b\}$ takvi da je $a+b=-1$, osim kada je $a=b=-\frac12$.

Drugo rješenje.

Zbog uvjeta da su $a$ i $b$ različiti dobivamo da barem jedan od njih nije jednak $0$. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da vrijedi $a\neq0$.

Neka su $x_0$ i $x_1$ rješenja prve, a $x_0$ i $x_2$ rješenja druge jednadžbe. Prema Vieteovim formulama vrijedi:

$$x_0+x_1=-a,\qquad x_0x_1=b,$$ $$x_0+x_2=-b,\qquad x_0x_2=a.$$

Kako vrijedi $a\neq0$, iz zadnje jednadžbe vrijedi da ni $x_0$ ni $x_2$ nisu jednaki $0$. Iz omjera jednakosti za umnožak rješenja dobivamo da je

$$x_1=\frac{b}{a}x_2.$$

Oduzimajući jednakosti za zbroj rješenja dobivamo da je

$$b-a=x_1-x_2=\left(\frac{b}{a}-1\right)x_2=\frac{b-a}{a}x_2.$$

Budući da vrijedi $b-a\neq0$, dobivamo da je $x_2=a$.

Iz zadnje Vieteove formule $x_0x_2=a$ sada dobivamo da je $x_0=1$.

Uvrštavajući u $x_0+x_2=-b$, dobivamo uvjet

$$a+b+1=0.$$

Također, uvrštavanjem $x=1$ u kvadratne jednadžbe vidimo da je broj $1$ rješenje kvadratnih jednadžbi ako i samo ako vrijedi gornja relacija.

Među takvim parovima treba izbaciti one za koje vrijedi $b=a=-1-b$, odnosno

$$b=-\frac12.$$

Stoga, rješenja su svi parovi $\{a,b\}$ oblika $\{-1-b,b\}$, $b\neq-\frac12$.

Treće rješenje.

Rješenja danih kvadratnih jednadžbi su

$$x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}\qquad\text{i}\qquad x_{3,4}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4a}}{2}.$$

Da bi jedno od rješenja jedne jednadžbe bilo rješenje druge, posebno mora vrijediti da je jedan od dva izraza

$$-a+b\pm\sqrt{a^2-4b}$$

jednak $\sqrt{a^2-4b}$ ili $-\sqrt{a^2-4b}$. Kvadrirajući (i uzimajući u obzir da lijeva strana i dalje može poprimiti dvije vrijednosti), redom dobivamo:

$$a^2+b^2-2ab+a^2-4b\pm2(b-a)\sqrt{a^2-4b}=b^2-4a,$$ $$\pm2(b-a)\sqrt{a^2-4b}=4b+2ab-2a^2-4a,$$ $$\pm2(b-a)\sqrt{a^2-4b}=2(b-a)(a+2),$$ $$\pm\sqrt{a^2-4b}=a+2,$$

budući da vrijedi $a\neq b$.

Ponovno kvadrirajući dobivamo da nužno vrijedi

$$a^2-4b=a^2+4a+4,$$ $$4(a+b+1)=0,$$

odnosno nužno mora vrijediti $a+b+1=0$.

Među takvim parovima treba izbaciti one za koje vrijedi $a=b=-1-a$, odnosno $a=-\frac12$.

Preostaje još provjeriti da svi parovi oblika $\{a,-1-a\}$ zadovoljavaju uvjete zadatka. Rješavajući obje jednadžbe

$$x^2+ax+(-1-a)=0$$ $$x^2+(-1-a)x+a=0,$$

vidimo da je broj $x=1$ rješenje, pa imaju barem jedno zajedničko rješenje.

Stoga, rješenja su svi parovi $\{a,b\}$ oblika $\{a,-1-a\}$, $a\neq-\frac12$.