3. Zadatak

Jedino rješenje jednadžbe je $(m,n,p)=(3,1,3)$.

Dodavanjem broja $1$ na obje strane jednadžbe, te primjenom razlike kvadrata, dobivamo

$$(5^n+1)^2=p^m+9,$$ $$(5^n-2)(5^n+4)=p^m.$$

Oba faktora na lijevoj strani jednadžbe prirodni su brojevi veći od $1$, pa da bi u umnošku bili jednaki potenciji prostog broja, oba moraju biti njegove potencije.

Dakle, postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je $5^n-2=p^a$ i $5^n+4=p^b$, te $a+b=m$. Kako je drugi faktor veći od prvog, zaključujemo da je $b>a$.

Oduzimanjem dobivenih jednakosti, dobivamo

$$6=(5^n+4)-(5^n-2)=p^b-p^a=p^a(p^{b-a}-1).$$

Kako su prosti faktori broja $6$ jednaki $2$ i $3$, imamo dva slučaja: $p=2$ i $p=3$.

Ako je $p=2$ početna jednadžba nema rješenja budući da je izraz $25^n$ neparan, dok su svi ostali izrazi parni.

Ako je $p=3$, tada je $p^a=3$ i $p^{b-a}-1=2$, odakle je $a=1$ i $b=2$. Zaključujemo da je $m=3$, te iz $5^n-2=3$ dobivamo da je $n=1$.

Time smo dobili jedino rješenje jednadžbe $(m,n,p)=(3,1,3)$.