4. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo sa $N$ polovište dužine $BT$.

Iz uvjeta $|TC|=|BC|$ slijedi da je trokut $BTC$ jednakokračan, pa je dužina $CN$ ujedno i visina u tom trokutu. Zato vrijedi $CN\perp BT$.

Dužina $MN$ srednjica je trokuta $TAB$. Zato vrijedi $MN\parallel AB$ i $|MN|=\frac12|AB|$.

Kako je $ABCD$ paralelogram, a $P$ polovište stranice $CD$, i za dužinu $CP$ vrijedi $CP\parallel AB$ i $|CP|=\frac12|AB|$.

U četverokutu $MNCP$ stranice $MN$ i $CP$ su paralelne i jednake duljine, pa je zato četverokut $MNCP$ paralelogram.

Posebno, vrijedi $PM\parallel CN$.

Dobili smo da je pravac $CN$ paralelan s pravcem $PM$, a okomit na pravac $BT$, pa zato zaključujemo da su pravci $BT$ i $PM$ međusobno okomiti, što je i trebalo dokazati.

Drugo rješenje.

Označimo sa $N$ i $K$ redom polovišta dužina $BT$ i $AB$.

Dužina $MK$ srednjica je trokuta $ABT$, pa je paralelna sa pravcem $BT$. Zato je dovoljno pokazati da je $\angle KMP$ pravi.

Iz uvjeta $|TC|=|BC|$ slijedi da je trokut $BTC$ jednakokračan, pa je dužina $CN$ ujedno i visina u tom trokutu. Zato je $\angle CNB$ pravi kut.

Kako je $MK$ srednjica trokuta $ABT$ te $N$ polovište dužine $BT$ slijedi da je

$$|MK|=\frac12|BT|=|BN|.$$

Kako je četverokut $ABCD$ paralelogram te kako su $K$ i $P$ polovišta dužina $AB$ i $CD$ slijedi da je i četverokut $PKBC$ također paralelogram.

Zato vrijedi

$$|PK|=|BC|\quad\text{i}\quad\angle AKP=\angle ABC.$$

Promotrimo trokute $MKP$ i $NBC$. Dokazali smo da im se dva para stranica poklapaju ($|MK|=|BN|$ i $|PK|=|BC|$). Za kutove između tih parova stranica vrijedi

$$\angle MKP=\angle AKP-\angle AKM=\angle ABC-\angle ABT=\angle NBC.$$

Zato zaključujemo da su trokuti $MKP$ i $NBC$ sukladni prema S-K-S poučku o sukladnosti.

Posebno, $\angle KMP=\angle CNB=90^\circ$, što je i trebalo dokazati.