1. Zadatak

Funkcija $g(x)=x^2-a^2-x-a=(x+a)(x-a-1)$ kvadratna je funkcija. Njezine nultočke su $-a$ i $a+1$. U tim točkama funkcija $f$ nije definirana.

Ordinata tjemena kvadratne funkcije iznosi $-\frac14-a^2-a$.

Zato je slika funkcije $g$ skup

$$\left[-\frac14-a^2-a,+\infty\right).$$

Promotrimo prvo slučaj u kojem su nultočke različite (što je ekvivalentno uvjetu $a\neq-\frac12$). Za realne $x$ koji se nalaze između nultočaka vrijedi izraz $g(x)$ poprima vrijednosti na skupu

$$\left[-\frac14-a^2-a,0\right),$$

pa zato $f(x)$ poprima sve vrijednosti iz skupa

$$\left(-\infty,\frac{2023}{-\frac14-a^2-a}\right] =\left(-\infty,-\frac{8092}{1+4a+4a^2}\right].$$

Na ostalim vrijednostima funkcija $g$ poprima sve pozitivne vrijednosti, pa stoga i funkcija $f$ poprima sve pozitivne vrijednosti.

Zato u slučaju $a\neq-\frac12$ slika funkcije $f$ je skup

$$\left(-\infty,-\frac{8092}{1+4a+4a^2}\right]\cup(0,+\infty).$$

U slučaju $a=-\frac12$ nultočke funkcije $g$ se poklapaju, pa je njezina slika $[0,+\infty)$, a slika funkcije $f$ je $(0,+\infty)$.

Konačno zaključujemo:

• u slučaju $a\neq-\frac12$ slika funkcije $f$ je skup $\left(-\infty,-\frac{8092}{1+4a+4a^2}\right]\cup(0,+\infty)$;
• u slučaju $a=-\frac12$ slika funkcije $f$ je skup $(0,+\infty)$.