2. Zadatak

Koristeći formulu za kosinus dvostrukog kuta dobivamo

$$\cos^2x-\sin^2x=p(\sin x+\cos x),$$

odnosno

$$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=p(\sin x+\cos x).$$

Dobivamo dva slučaja:

$$\cos x+\sin x=0\quad\text{ili}\quad\cos x-\sin x=p.$$

U prvom slučaju $(\cos x+\sin x=0)$ dijelimo s $\cos x$ (ne može biti jednak nuli jer bi u suprotnom i $\sin x$ bio jednak nuli) te dobivamo $\operatorname{tg}x=-1$, čija su rješenja na $[0,2\pi]$ jednaka $x_1=\frac{3\pi}4$ i $x_2=\frac{7\pi}4$.

U drugom slučaju $(\cos x-\sin x=p)$ množenjem s $-\frac{\sqrt2}2$ i primjenom adicijske formule jednadžba postaje

$$\sin\left(x-\frac\pi4\right)=-\frac{p\sqrt2}2.$$

Ova jednadžba ima rješenja u slučaju $-\frac{p\sqrt2}2\in[-1,1]$, odnosno kada je $p\in[-\sqrt2,\sqrt2]$.

Tada jednadžba ima točno $2$ rješenja na $[0,2\pi]$, osim u slučaju kada je desna strana jednaka $1$ ili $-1$, ili u slučaju kada su $0$ i $2\pi$ neka rješenja te jednadžbe. Zajedno s time, treba provjeriti i slučaj kada je neko od rješenja ove jednadžbe ujedno i rješenje jednadžbe $\cos x+\sin x=0$.

Desna strana ove jednadžbe jednaka je $1$ u slučaju $p=-\sqrt2$. Tada je njezino rješenje $x_1=\frac{3\pi}4$, koje je već rješenje iz prvog slučaja. Slično, desna strana jednadžbe je jednaka $-1$ za $p=\sqrt2$, kada je jedino rješenje već pronađeno rješenje $x_2=\frac{7\pi}4$.

Jednadžba će imati tri rješenja ako je $0$ jedno od rješenja, a to je u slučaju kada je

$$\sin\left(0-\frac\pi4\right)=-\frac{p\sqrt2}2,$$

odnosno kada je $p=1$. Ta tri rješenja su $x_3=0$, $x_4=\pi$ i $x_5=2\pi$, te su sva različita od $x_1$ i $x_2$.

Konačno zaključujemo:

• u slučaju $p\leq-\sqrt2$ ili $p\geq\sqrt2$ početna jednadžba ima $2$ rješenja;
• u slučaju $p=1$ početna jednadžba ima $5$ rješenja;
• u slučaju $p\in(-\sqrt2,\sqrt2)\setminus\{1\}$ početna jednadžba ima $4$ rješenja.