4. Zadatak

Zapišimo broj $x$ u obliku

$$x=n+\frac pq,$$

gdje su $n\in\mathbb Z$, $p\in\mathbb N_0$ i $q\in\mathbb N$ takvi da su $p$ i $q$ relativno prosti, te je $p<q$.

Tada je $\lfloor x\rfloor=n$, pa se jednadžba može zapisati na sljedeći način:

$$\left(n+\frac pq\right)\cdot n\cdot\frac pq=254,$$ $$(nq+p)\cdot n\cdot p=254q^2.$$

Kako je desna strana djeljiva s $q^2$, mora biti i lijeva. Brojevi $p$ i $q^2$ su relativno prosti iz pretpostavke s početka. Isto vrijedi i za brojeve $q^2$ i $nq+p$, jer kada bi postojao prosti djelitelj $d>1$ koji dijeli $q^2$ i $nq+p$, dijelio bi i $nq$, pa bi morao dijeliti i $p$. Zato zaključujemo da je jedino moguće $q^2\mid n$.

Zato postoji $k\in\mathbb Z$ takav da je $n=kq^2$, pa koristeći novu nepoznanicu jednadžbu sređujemo:

$$(kq^3+p)\cdot kq^2\cdot p=254q^2,$$ $$(kq^3+p)\cdot k\cdot p=254.$$

Rastav broja $254$ na proste faktore je $254=2\cdot127$, pa su jedini mogući rastavi tog broja na pozitivne faktore $1\cdot2\cdot127$ i $1\cdot1\cdot254$.

Pretpostavimo prvo da je $p$ najveći po apsolutnoj vrijednostima među faktorima $kq^3+p$, $k$ i $p$, odnosno $p\geq127$. Tada su druga dva člana po apsolutnoj vrijednosti manja ili jednaka $2$. Zato imamo

$$q^3\leq|kq^3|\leq|kq^3+p|+p\leq2+p\leq256.$$

No, s druge strane $q>p\geq127$, čime dobivamo kontradikciju.

Pretpostavimo sada da je $k$ najveći po apsolutnoj vrijednostima među faktorima $kq^3+p$, $k$ i $p$, odnosno $|k|\geq127$. Ponovno su preostala dva člana po apsolutnoj vrijednosti manja ili jednaka $2$, pa je

$$q^3=\frac{|kq^3|}{|k|}\leq\frac{|kq^3+p|+p}{|k|}\leq\frac3{127}<1,$$

čime dobivamo kontradikciju s $q\in\mathbb N$.

Zato zaključujemo da je $kq^3+p$ najveći po apsolutnoj vrijednosti. Zato imamo jedan od tri slučaja:

$$|kq^3+p|=127,\ |k|=1,\ p=2,$$ $$|kq^3+p|=127,\ |k|=2,\ p=1,$$

ili

$$|kq^3+p|=254,\ |k|=1,\ p=1.$$

U prvom slučaju je $kq^3+p=\pm127$, $k=\pm1$, $p=2$. Tada je $q^3=125$ ili $q^3=129$. Samo za prvu mogućnost dobivamo rješenje $q=5$, pa je

$$x=5^2+\frac25=\frac{127}5.$$

U drugom slučaju je $kq^3+p=\pm127$, $k=\pm2$, $p=1$. Tada je $q^3=63$ ili $q^3=64$. Samo za drugu mogućnost dobivamo rješenje $q=4$, pa je

$$x=-2\cdot4^2+\frac14=-\frac{127}4.$$

U trećem slučaju je $kq^3+p=\pm254$, $k=\pm1$, $p=1$. Tada je $q^3=253$ ili $q^3=255$, što ne vodi k novim rješenjima.

Zaključujemo da su sva rješenja $x$ početne jednadžbe

$$\frac{127}5\quad\text{i}\quad-\frac{127}4.$$