4. Zadatak

Uočimo da je $n^3+1000$ zbroj kubova pa vrijedi

$$n^3+1000=(n+10)(n^2-10n+100).$$

Sada imamo

$$\begin{aligned} \frac{n^3+100}{n+10} &=\frac{n^3+1000-900}{n+10}\\ &=\frac{(n+10)(n^2-10n+100)-900}{n+10}\\ &=n^2-10n+100-\frac{900}{n+10}. \end{aligned}$$

Prema tome, ako je $n+10$ djelitelj od $n^3+100$, mora biti djelitelj od $900$, i obratno.

Kako je najveći djelitelj od $900$ broj $900$, tako je najveći mogući prirodni broj koji zadovoljava tvrdnju zadatka

$$n=900-10=890.$$

Napomena. Do jednakosti za $\frac{n^3+100}{n+10}$ moguće je doći i na neki drugi način, primjerice dijeljenjem polinoma.