6. Zadatak

Prvo rješenje.

Budući da je upisan u kružnicu, trapez $ABCD$ je jednakokračan.

Zbog simetrije slijedi da su trokuti $ABS$ i $CDS$ jednakokračni.

Neka je $|AS|=|BS|=p$ i $|CS|=|DS|=q$. Tada je

$$P(ABS)+P(CDS)=\frac{p^2}{2}+\frac{q^2}{2}.$$

Budući da je trokut $BSC$ pravokutan, vrijedi $p^2+q^2=|BC|^2$.

Neka je $O$ središte, a $R$ polumjer kružnice $k$.

Budući da je pravokutni trokut $ABS$ jednakokračan, slijedi $\angle CAB=\angle SAB=45^\circ$, pa je središnji kut $\angle BOC$ nad tetivom $\overline{BC}$ pravi.

Dakle, trokut $BOC$ je pravokutan i slijedi $|BC|^2=2R^2$.

Sada zaključujemo da je

$$P(ABS)+P(CDS)=\frac{p^2+q^2}{2}=\frac{|BC|^2}{2}=\frac{2R^2}{2}=R^2.$$

Stoga je traženi omjer $\pi$.

Drugo rješenje.

Označimo $|AB|=a$ i $|CD|=c$. Neka su $M$ i $N$ redom nožišta visina iz vrha $S$ u trokutima $ABS$ i $CDS$. Označimo i $|SM|=h_a$, $|SN|=h_c$.

Budući da je upisan u kružnicu, trapez $ABCD$ je jednakokračan.

Zbog simetrije slijedi da su trokuti $ABS$ i $CDS$ jednakokračni.

Budući da je pravokutni trokut $ABS$ jednakokračan, slijedi da je $|AM|=|SM|=h_a$, tj. $h_a=\frac a2$. Analogno slijedi $h_c=\frac c2$.

S druge strane, označimo s $O$ središte, a s $R$ polumjer kružnice $k$. Nadalje, označimo s $v_a=|OM|$ duljinu visine iz $O$ na $\overline{AB}$, te s $v_c=|ON|$ duljinu visine iz $O$ na $\overline{CD}$.

Iz pravokutnih trokuta $AMO$ i $CNO$ imamo

$$\left(\frac a2\right)^2+v_a^2=R^2,$$ $$\left(\frac c2\right)^2+v_c^2=R^2.$$

Oduzimanjem slijedi

$$(v_a-v_c)(v_a+v_c)=\frac{a+c}{2}\cdot\frac{c-a}{2}.$$

Uočimo da je $v_a+v_c$ duljina visine trapeza, pa vrijedi

$$v_a+v_c=h_a+h_c=\frac{a+c}{2}.$$

Uvrštavanjem u gornju jednadžbu i dijeljenjem s $\frac{a+c}{2}$ slijedi

$$v_a-v_c=\frac{c-a}{2}.$$

Rješavanjem sustava jednadžbi

$$v_a-v_c=\frac{c-a}{2},\qquad v_a+v_c=\frac{a+c}{2}$$

dobivamo $v_a=\frac c2$ i $v_c=\frac a2$.

Sada imamo

$$R^2=\left(\frac a2\right)^2+v_a^2 =\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac c2\right)^2.$$

Zbroj površina trokuta $ABS$ i $CDS$ iznosi

$$\frac{a\cdot h_a}{2}+\frac{c\cdot h_c}{2} =\frac{a^2}{4}+\frac{c^2}{4}=R^2,$$

pa je traženi omjer jednak $\pi$.