7. Zadatak

Pri svakoj promjeni rezultata točno jedan od brojeva $\overline{ab}$ i $\overline{cd}$ se uveća za $1$, a drugi ostaje nepromijenjen.

Promotrimo neke (fiksne) $a$ i $c$. Neka su $b$ i $d$ takvi da vrijedi $a+b+c+d=10$. Pri svakoj sljedećoj promjeni rezultata, jedan od njih će se uvećati, a drugi se neće smanjiti. Zato zbroj $a+b+c+d$ raste sve dok su $a$ i $c$ nepromijenjeni. Drugim riječima, za svaki zadani par brojeva $a$ i $c$, u istoj utakmici može postojati najviše jedan rezultat koji zadovoljava uvjete zadatka.

Iz teksta zadatka vidimo da znamenke $a$ i $c$ mogu biti samo $0$, $1$ i $2$.

Broj $a$ na početku ima vrijednost $0$, a kasnije se može samo povećati s $0$ na $1$ te s $1$ na $2$. Isto vrijedi i za broj $c$.

Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da je $a$ prvi od ta dva broja koji se uvećao s $0$ na $1$. Tada u toj utakmici možemo imati najviše pet različitih parova $(a,c)$:

$$(0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(2,1)\to(2,2)$$

ili

$$(0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(1,2)\to(2,2)$$

ili

$$(0,0)\to(1,0)\to(2,0)\to(2,1)\to(2,2).$$

Prema tome, zbroj može biti jednak $10$ najviše pet puta.

Preostaje pokazati da su ti rezultati zaista i mogući. Rješavanjem jednadžbe $a+b+c+d=10$ za svaki od parova $(a,c)$ te uzimajući u obzir da se rezultat pojedine ekipe ne može smanjiti tijekom utakmice, vidimo da je jedan mogući niz rezultata, primjerice,

$$06:04,\qquad13:06,\qquad21:07,\qquad22:15,\qquad25:21.$$