3. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $x$ broj igara koje se nalaze na sva tri popisa.

Tada za svaku dvojicu prijatelja vrijedi da je broj igara koje se nalaze na njihova dva popisa, ali ne i na popisu preostalog prijatelja, jednak $6-x$.

Budući da svatko na popisu ima po 10 igara, broj igara koje ima na svojem popisu i ne nalaze se na drugim popisima je jednak

$$10-x-(6-x)-(6-x)=x-2.$$

Raspodjelu broja igara možemo prikazati dijagramom na sljedeći način:

Budući da se na sva tri popisa našlo ukupno 15 različitih igara, sa slike vidimo da vrijedi

$$x+3\cdot(6-x)+3\cdot(x-2)=15.$$

Iz prethodne jednadžbe slijedi da je $x=3$, odnosno na sva tri popisa su tri igre.

Drugo rješenje.

Kao u prošlom rješenju, neka je $x$ broj igara koje se nalaze na sva tri popisa, a $6-x$ broj igara koje svaki prijatelj ima na popisu zajedničkih s točno jednim drugim prijateljem.

Označimo s $y$ broj igara koje svaki prijatelj ima samo na svojem popisu.

Podatke možemo prikazati tablično:

Prvom prijatelju	$x$	$6-x$	$6-x$		$y$
Drugom prijatelju	$x$	$6-x$		$6-x$		$y$
Trećem prijatelju	$x$		$6-x$	$6-x$			$y$

Po retcima označavamo popise igara svakog prijatelja. Po stupcima popisujemo igre i označavamo na čijem se popisu nalazi koja igra: prvo igre koje su zajedničke svima, pa igre koje su zajedničke dvama prijateljima, i na kraju igre koje su na popisu samo jednog od prijatelja.

Na svakom popisu nalazi se po $x+2\cdot(6-x)+y=10$ igara.

Ukupan broj igara je $x+3\cdot(6-x)+3\cdot y=15$.

Koristeći prvu jednadžbu, izrazimo $y=x-2$ i uvrstimo u drugu.

Dobivamo da je $x=3$. Dakle, na sva tri popisa su tri igre.

Treće rješenje.

Kao u prošlom rješenju, neka je $x$ broj igara koje su zajedničke svim prijateljima, a $y$ broj igara koje su na popisu samo jednog od prijatelja.

Promotrimo popise dvojice prijatelja. Ukupan broj igara na njima je 20. Na njima je dvaput navedeno 6 igara zajedničkih obojici, te se na njima nalazi svih 15 igara osim onih $y$ koje se nalaze samo na popisu preostalog prijatelja. Zato vrijedi

$$20-6=15-y,$$

odakle je $y=1$.

Sada promotrimo igre zajedničke jednom prijatelju i svakom od preostale dvojice. Među tih 12 igara, dvaput su navedene one koje su zajedničke svoj trojici. S druge strane, to su sve igre koje se nalaze na popisu promatranog prijatelja osim onih $y$ koje se nalaze isključivo na njegovom popisu. Zato vrijedi

$$12-x=10-y,$$

odakle je $x=3$.

Dakle, na sva tri popisa su tri igre.