6. Zadatak

Prvo rješenje.

Točke $P$ i $Q$ nalaze se na osi $y$ i simetrične su u odnosu na ishodište $O$, iz čega zaključujemo da su im udaljenosti od ishodišta $O$ jednake, odnosno da je $O$ polovište dužine $\overline{PQ}$.

Trokut $PAQ$ je pravokutni trokut s hipotenuzom $\overline{PQ}$ jer je $\angle PAQ=90^\circ$. Kako u svakom pravokutnom trokutu vrijedi da je polovište hipotenuze ujedno i središte opisane kružnice, zaključujemo $|AO|=|PO|=|QO|$.

Lako izračunamo

$$|AO|=\sqrt{6^2+8^2}=10.$$

Zato je

$$|PQ|=|PO|+|OQ|=2|AO|=20.$$

Duljina visine na hipotenuzu jednaka je $x$-koordinati točke $A$.

Slijedi da je površina trokuta $APQ$ jednaka

$$P(APQ)=\frac{20\cdot6}{2}=60.$$

Drugo rješenje.

Točke $P$ i $Q$ nalaze se na osi $y$ i simetrične su u odnosu na ishodište, pa bez smanjenja općenitosti možemo njihove koordinate označiti kao $P(0,b)$ i $Q(0,-b)$, uz $b>0$.

Označimo s $k_1$ i $k_2$ redom koeficijente smjerova pravaca $PA$ i $QA$. Tada vrijedi

$$k_1=\frac{8-b}{6-0}\qquad\text{i}\qquad k_2=\frac{8-(-b)}{6-0}.$$

Budući da se pravci $PA$ i $QA$ sijeku pod pravim kutom, mora vrijediti $k_1k_2=-1$, tj.

$$\frac{(8-b)(8+b)}{36}=-1\quad\Longrightarrow\quad100-b^2=0.$$

Iz prethodne jednadžbe slijedi $b=\pm10$, tj. $b=10$ (jer je $b>0$).

Konačno, $APQ$ je pravokutni trokut s hipotenuzom $PQ$ duljine $2b=20$. Površinu trokuta, koja iznosi $60$, izračunamo kao u prošlom rješenju.

Treće rješenje.

Bez smanjenja općenitosti, neka je $P$ točka na pozitivnom dijelu osi $y$, a $Q$ na negativnom dijelu osi $y$.

U pravokutnom trokutu $APQ$ visina iz $A$ na hipotenuzu $PQ$ je duljine $v=6$.

Označimo s $A'$ nožište visine iz $A$ na $PQ$. Označimo s $p$ i $q$ redom duljine $|PA'|$ i $|A'Q|$. Prema Euklidovom poučku vrijedi

$$pq=v^2=36.$$

Kako je visina udaljena za $8$ od osi $x$, a ishodište je polovište dužine $PQ$, vrijedi

$$p+8=q-8,$$

odnosno $q-p=16$.

Iz dobivenih relacija imamo

$$(p+q)^2=(p-q)^2+4pq=16^2+4\cdot36=256+144=400,$$

odakle je $p+q=20$.

Površinu trokuta $APQ$ računamo koristeći formulu

$$P(APQ)=\frac{|PQ|\cdot|AA'|}{2}=\frac{(p+q)v}{2}$$

i dobivamo da iznosi $60$.

U trećem rješenju moguće je riješiti sustav za $p$ i $q$ (iz jednadžbi $pq=36$, $q-p=16$) i dobiti vrijednosti $p=2$ i $q=18$.

Površinu trokuta možemo izračunati na više načina. Primjerice, kada odredimo pozicije točaka $P$ i $Q$ kao u prvom rješenju, možemo izračunati duljine kateta $|AP|$ i $|AQ|$ (koje iznose $2\sqrt{10}$ i $6\sqrt{10}$), pa iskoristiti formulu $P=ab/2$ za površinu pravokutnog trokuta.