7. Zadatak

Uočimo prvo da broj $4^n+1$ može biti prost samo ako je $n=1$ ili ako je $n$ paran.

Naime, za vrijednosti $n=1,2,3,4,\ldots$ izraz $4^n$ daje ostatke $4,1,4,1,\ldots$ pri dijeljenju s $5$. Dakle, kada je $n$ neparan, broj $4^n+1$ je djeljiv s $5$, pa je i složen broj (osim za $n=1$ kad je $4^n+1=5$).

Zatim, uočimo da je broj $n^2+2$ paran (pa onda i složen) za sve parne $n$.

Zadnje, primijetimo da ako broj $n$ nije djeljiv s $3$, da je tada oblika $n=3k+1$ ili $3k-1$. Tada imamo

$$n^2+2=(3k\pm1)^2+2=9k^2\pm6k+3,$$

odnosno $n^2+2$ je broj djeljiv s $3$.

Dakle, $n^2+2$ može biti prost jedino ako je $n$ djeljiv s $3$ (ili ako je $n=1$, kada je taj izraz jednak $3$).

Sada promotrimo sve slučajeve:

1. Brojevi $4^n+1$ i $n^2+2$ su istodobno prosti. Za $n=1$ dobivamo rješenje (među tri broja iz teksta zadatka su dva prosta: $5$ i $3$). Za $n>1$, iz gornjih zaključaka dobivamo da broj ne smije biti niti paran niti neparan, što znači da nema više rješenja u ovom slučaju.

2. Brojevi $4^n+1$ i $n$ su istodobno prosti. Iz gornjih zaključaka znamo da broj ne smije biti neparan broj. Dakle, $n$ mora biti paran i prost, za što je jedina mogućnost $n=2$. To uistinu i jest rješenje (među tri broja su dva prosta: $2$ i $17$).

3. Brojevi $n^2+2$ i $n$ su istodobno prosti. Iz gornjih zaključaka znamo da broj mora biti djeljiv s $3$. No, $n$ je prost i djeljiv s $3$ samo u slučaju $n=3$. To uistinu i jest rješenje (među tri broja su dva prosta: $3$ i $11$).

Stoga, traženi brojevi su $n=1,2,3$.

Dokaz o složenosti broja $4^n+1$ može se izvesti i faktorizacijom: ako je $n$ neparan broj veći od $1$, onda je

$$4^n+1=(4+1)(4^{n-1}-4^{n-2}+\cdots+1)$$

očito složen broj.