2. Zadatak

Prvo rješenje.

Zbroj vanjskih kutova konveksnog mnogokuta je $360^\circ$.

Tri vanjska kuta promatranog mnogokuta su šiljasta (uz tupe unutrašnje kutove), dok svi ostali vanjski kutovi moraju biti tupi ili pravi.

Najviše tri vanjska kuta mogu biti tupi ili pravi, jer bi inače njihov zbroj bio $360^\circ$ ili veći, što je nemoguće.

To znači da su najviše tri unutrašnja kuta šiljasta ili prava, pa promatrani mnogokut ima najviše šest vrhova.

Još treba provjeriti da postoji šesterokut s opisanim svojstvom. Jedan takav je šesterokut čiji su kutovi redom $90^\circ$, $150^\circ$, $90^\circ$, $150^\circ$, $90^\circ$, $150^\circ$, a sve stranice sukladne.

Time smo pokazali da je najveći mogući broj stranica mnogokuta s navedenim svojstvom 6.

Drugo rješenje.

Označimo s $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ kutove danog mnogokuta, bez obzira na poredak vrhova, ali tako da su $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ tupi kutovi, a za sve ostale vrijedi $\alpha_k\leq90^\circ$.

U mnogokutu s $n$ vrhova suma kutova je $(n-2)\cdot180^\circ$.

Zbog pretpostavke je

$$\alpha_4+\ldots+\alpha_n\leq(n-3)\cdot90^\circ$$

te vrijedi

$$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3<3\cdot180^\circ.$$

Sada zaključujemo da je

$$\begin{aligned} (n-2)\cdot180^\circ &=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+\ldots+\alpha_n\\ &<3\cdot180^\circ+(n-3)\cdot90^\circ. \end{aligned}$$

Odakle dijeljenjem s $90^\circ$ dobivamo $2(n-2)<3\cdot2+n-3$, tj. $n<7$. Dakle, takav mnogokut s više od 6 vrhova ne postoji.

Preostaje još provjeriti da postoji šesterokut s opisanim svojstvom, npr. primjerom kao u prvom rješenju.