3. Zadatak

Primijetimo da je $2187=3^7$.

Matematičkom indukcijom ćemo dokazati općenitu tvrdnju:

Broj čiji se dekadski zapis sastoji od $3^n$ znamenki 1 djeljiv je s $3^n$.

Za $n=1$ tvrdnja vrijedi, jer je $111=3\cdot37$.

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki $n\in\mathbb{N}$, tj. da je broj

$$\underbrace{111\ldots11}_{3^n\ \text{znamenaka}}$$

djeljiv s $3^n$.

Dokažimo da je broj

$$\underbrace{111\ldots11}_{3^{n+1}\ \text{znamenaka}}$$

djeljiv s $3^{n+1}$.

Vrijedi

$$\underbrace{111\ldots11}_{3^{n+1}} = \underbrace{111\ldots11}_{3^n}\cdot \underbrace{100\ldots01}_{3^n} \underbrace{0\ldots01}_{3^n}.$$

Prvi faktor je po pretpostavci djeljiv s $3^n$, a drugi faktor je djeljiv s 3 jer mu je zbroj znamenaka jednak 3. To znači da je umnožak djeljiv s $3^{n+1}$ što smo i htjeli pokazati.

Po principu matematičke indukcije zaključujemo da tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve.